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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Siebzehnte Vorlesung.
100) a d h, a d h1 = 0, a d h = a d, a d1 h1 = a h1, a1 d h1 = d h1,
100)' a d k, a d k1 = 0, a d k = a d, a d1 k1 = a k1, a1 d k1 = d k1;
in den letzten Gleichungen rechts dürfen wir aber linkerhand a1 h1 oder
a1 k1 nach 80)'' durch a1 selbst ersetzen, und erhalten namentlich -- mit
Rücksicht noch auf 30)''':
100)'' a1 d = d h1 = d k1 = d h1 k1,
welches zeigt, dass die Gleichheit nur insofern unter die Wertegemein-
schaft fällt, als ihre beiden Seiten von 0 verschieden sind.

Nachdem a1 bereits seine Erklärung gefunden hat, sein Gebrauch
legitimirt ist, definiren wir endlich die Schnittigkeitsbeziehung durch
die Festsetzung:
[70] g = a1 b1 c1
d. h. {A B} = {A B} {A B} {A B}
= {A B 0} {B A} {A B};
nach 60) wird dann also auch sein [für b1 und c1 ihre dortigen Werte
gesetzt]:
110) g = a1 d1 e1 f1, woraus g1 = a + d + e + f
durch beiderseitiges Negiren entsteht.

Da nun i = g + g1 nach Th. 30x) ist, so erhalten wir durch Ein-
setzung vorstehenden Wertes:
120) i = a + d + e + f + g.

In der fünfgliedrigen Summe rechterhand sind die vier letzten
Terme schon ohnehin disjunkt, indem zu den schon gewonnenen
Gleichungen 50) kraft der Definitionen [70] in Verbindung mit [20]
[40] und [50] auch noch hinzutritt:
130) d g = 0, e g = 0, f g = 0.

[Das erstere Produkt wird ja in der That: a1 b1 c1 · b c, das zweite
a1 b1 c1 · b c1, das dritte a1 b1 c1 · b1 c, ein jedes also 0 nach Th. 30x).]

Um nun die Summe vollends in eine reduzirte zu verwandeln,
brauchen wir blos nach dem Schema:
a + x = a + x a + x a1 = a + a1 x
-- im Grunde also unter Anwendung von Th. 33+) Zusatz -- die Gleichung
120) umzuschreiben in:
i = a + a1 d + a1 e + a1 f + a1 g,
so werden ausser den rechts (implicite erwähnten) Produkten der vier

Siebzehnte Vorlesung.
100) a d ⊆ h, a d h1 = 0, a d h = a d, a d1 h1 = a h1, a1 d h1 = d h1,
100)' a d ⊆ k, a d k1 = 0, a d k = a d, a d1 k1 = a k1, a1 d k1 = d k1;
in den letzten Gleichungen rechts dürfen wir aber linkerhand a1 h1 oder
a1 k1 nach 80)'' durch a1 selbst ersetzen, und erhalten namentlich — mit
Rücksicht noch auf 30)''':
100)'' a1 d = d h1 = d k1 = d h1 k1,
welches zeigt, dass die Gleichheit nur insofern unter die Wertegemein-
schaft fällt, als ihre beiden Seiten von 0 verschieden sind.

Nachdem a1 bereits seine Erklärung gefunden hat, sein Gebrauch
legitimirt ist, definiren wir endlich die Schnittigkeitsbeziehung durch
die Festsetzung:
[70] g = a1 b1 c1
d. h. {A ⊆ B} = {A ⊆ B} {A ⊆ B} {A ⊆ B}
= {A B ⊆ 0} {B ⊆ A} {A ⊆ B};
nach 60) wird dann also auch sein [für b1 und c1 ihre dortigen Werte
gesetzt]:
110) g = a1 d1 e1 f1, woraus g1 = a + d + e + f
durch beiderseitiges Negiren entsteht.

Da nun i = g + g1 nach Th. 30×) ist, so erhalten wir durch Ein-
setzung vorstehenden Wertes:
120) i = a + d + e + f + g.

In der fünfgliedrigen Summe rechterhand sind die vier letzten
Terme schon ohnehin disjunkt, indem zu den schon gewonnenen
Gleichungen 50) kraft der Definitionen [70] in Verbindung mit [20]
[40] und [50] auch noch hinzutritt:
130) d g = 0, e g = 0, f g = 0.

[Das erstere Produkt wird ja in der That: a1 b1 c1 · b c, das zweite
a1 b1 c1 · b c1, das dritte a1 b1 c1 · b1 c, ein jedes also 0 nach Th. 30×).]

Um nun die Summe vollends in eine reduzirte zu verwandeln,
brauchen wir blos nach dem Schema:
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— im Grunde also unter Anwendung von Th. 33+) Zusatz — die Gleichung
120) umzuschreiben in:
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so werden ausser den rechts (implicite erwähnten) Produkten der vier

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[112/0136] Siebzehnte Vorlesung. 100) a d  h, a d h1 = 0, a d h = a d, a d1 h1 = a h1, a1 d h1 = d h1, 100)' a d  k, a d k1 = 0, a d k = a d, a d1 k1 = a k1, a1 d k1 = d k1; in den letzten Gleichungen rechts dürfen wir aber linkerhand a1 h1 oder a1 k1 nach 80)'' durch a1 selbst ersetzen, und erhalten namentlich — mit Rücksicht noch auf 30)''': 100)'' a1 d = d h1 = d k1 = d h1 k1, welches zeigt, dass die Gleichheit nur insofern unter die Wertegemein- schaft fällt, als ihre beiden Seiten von 0 verschieden sind. Nachdem a1 bereits seine Erklärung gefunden hat, sein Gebrauch legitimirt ist, definiren wir endlich die Schnittigkeitsbeziehung durch die Festsetzung: [70] g = a1 b1 c1 d. h. {A  B} = {A  B} {A  B} {A  B} = {A B  0} {B  A} {A  B}; nach 60) wird dann also auch sein [für b1 und c1 ihre dortigen Werte gesetzt]: 110) g = a1 d1 e1 f1, woraus g1 = a + d + e + f durch beiderseitiges Negiren entsteht. Da nun i = g + g1 nach Th. 30×) ist, so erhalten wir durch Ein- setzung vorstehenden Wertes: 120) i = a + d + e + f + g. In der fünfgliedrigen Summe rechterhand sind die vier letzten Terme schon ohnehin disjunkt, indem zu den schon gewonnenen Gleichungen 50) kraft der Definitionen [70] in Verbindung mit [20] [40] und [50] auch noch hinzutritt: 130) d g = 0, e g = 0, f g = 0. [Das erstere Produkt wird ja in der That: a1 b1 c1 · b c, das zweite a1 b1 c1 · b c1, das dritte a1 b1 c1 · b1 c, ein jedes also 0 nach Th. 30×).] Um nun die Summe vollends in eine reduzirte zu verwandeln, brauchen wir blos nach dem Schema: a + x = a + x a + x a1 = a + a1 x — im Grunde also unter Anwendung von Th. 33+) Zusatz — die Gleichung 120) umzuschreiben in: i = a + a1 d + a1 e + a1 f + a1 g, so werden ausser den rechts (implicite erwähnten) Produkten der vier

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 112. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/136>, abgerufen am 23.11.2024.