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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Sechzehnte Vorlesung.

Umgekehrt dagegen ist es keine leichte Anforderung an das mentale
Abstraktionsvermögen des Lesers, falls nun r), s) als Definitionen zugrunde
gelegt werden sollten, aus diesen Formeln selbst ihre Vereinfachungsfähig-
keit zu erkennen und von ihnen zu den Definitionsformen (4x) resp. (5x)
zurückzugelangen -- so, wie wir in der That in § 6 die Zurückführung
der Def. (4x) auf die (3x) mittelst verbalen Räsonnements geleistet haben,
welches natürlich nun nachträglich auch ganz durch die Formelsprache des
Aussagenkalkuls ersetzt werden könnte.

t) Schliesslich wollen wir untersuchen, in welcher Beziehung in den
Theoremen 7) bis 11) der allgemeine Faktor unter dem Produktenzeichen
[Formel 1] selbst zur andern Seite der Gleichung steht. Diese Beziehung ist die
einer Überordnung, indem zu notifiziren ist, dass
Zu 7x) (c a b) {(x c) (x a) (x b)},
Zu 8x) (a b c) {(x a b) (x c)},
Zu 9x) (a b c) {(x a) (x b) (x c)},
Zu 10x) (c a b) {(a b x) (c x)},
Zu 11x) (c = a b) {(x c) = (x a) (x b)}.

Auf Grund der Def. (3x) sind diese Formeln leicht als solche, die im
Gebietekalkul allgemeine Geltung haben, syllogistisch zu beweisen, und ebenso
verifiziren sie sich als solche des Aussagenkalkuls nach der über n) an-
gegebenen, durch das Bisherige genugsam illustrirten Methode.

Bei letzterem Verfahren wird augenscheinlich, dass die obigen Sub-
sumtionen nicht als Gleichungen gelten, sondern dass vielmehr der Major
jeweils den Minor um den Term x1, bei 10x) aber um das Glied x, über-
trifft. Aussagenrechnerisch bewahrheiten sich demnach die Formeln:
Zu *7x) {(x c) (x a) (x b)} = (c a b) + (x = 0)
etc. dagegen
Zu *10x) {(a b x) (c x)} = (c a b) + (x = 1).

Indessen kommt denselben nur die engere Geltung zu: die Formeln
müssen sicher zutreffen, wenn a, b, c, x, 1 Aussagen bedeuten, brauchen es
aber (wie wir sogleich sehen werden) keineswegs zu thun, falls diese Symbole

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 9
irgendwelche Gebiete vorzustellen haben. Die Formeln
mussten darum auch mit dem Sterne ausgezeichnet
werden.

In der That lassen leicht sich Beispiele nach-
weisen -- wie Fig. 9 -- in welchen
(x c) = i, sowie
(x a b) = i, somit auch
(x c) (x a b)
ist, und doch weder c a b noch x = 0 besteht, sodass beispielsweise die erste
unsrer Formeln, wie sie zuletzt unter "Zu *7x)" angegeben, unmöglich für Ge-
biete allgemeingültig sein kann.

Sechzehnte Vorlesung.

Umgekehrt dagegen ist es keine leichte Anforderung an das mentale
Abstraktionsvermögen des Lesers, falls nun ϱ), σ) als Definitionen zugrunde
gelegt werden sollten, aus diesen Formeln selbst ihre Vereinfachungsfähig-
keit zu erkennen und von ihnen zu den Definitionsformen (4×) resp. (5×)
zurückzugelangen — so, wie wir in der That in § 6 die Zurückführung
der Def. (4×) auf die (3×) mittelst verbalen Räsonnements geleistet haben,
welches natürlich nun nachträglich auch ganz durch die Formelsprache des
Aussagenkalkuls ersetzt werden könnte.

τ) Schliesslich wollen wir untersuchen, in welcher Beziehung in den
Theoremen 7) bis 11) der allgemeine Faktor unter dem Produktenzeichen
[Formel 1] selbst zur andern Seite der Gleichung steht. Diese Beziehung ist die
einer Überordnung, indem zu notifiziren ist, dass
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Auf Grund der Def. (3×) sind diese Formeln leicht als solche, die im
Gebietekalkul allgemeine Geltung haben, syllogistisch zu beweisen, und ebenso
verifiziren sie sich als solche des Aussagenkalkuls nach der über ν) an-
gegebenen, durch das Bisherige genugsam illustrirten Methode.

Bei letzterem Verfahren wird augenscheinlich, dass die obigen Sub-
sumtionen nicht als Gleichungen gelten, sondern dass vielmehr der Major
jeweils den Minor um den Term x1, bei 10×) aber um das Glied x, über-
trifft. Aussagenrechnerisch bewahrheiten sich demnach die Formeln:
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etc. dagegen
Zu *10×) {(a b ⊆ x) ⊆ (c ⊆ x)} = (c ⊆ a b) + (x = 1).

Indessen kommt denselben nur die engere Geltung zu: die Formeln
müssen sicher zutreffen, wenn a, b, c, x, 1 Aussagen bedeuten, brauchen es
aber (wie wir sogleich sehen werden) keineswegs zu thun, falls diese Symbole

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 9
irgendwelche Gebiete vorzustellen haben. Die Formeln
mussten darum auch mit dem Sterne ausgezeichnet
werden.

In der That lassen leicht sich Beispiele nach-
weisen — wie Fig. 9 — in welchen
(x ⊆ c) = i, sowie
(x ⊆ a b) = i, somit auch
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ist, und doch weder c ⊆ a b noch x = 0 besteht, sodass beispielsweise die erste
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biete allgemeingültig sein kann.

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[82/0106] Sechzehnte Vorlesung. Umgekehrt dagegen ist es keine leichte Anforderung an das mentale Abstraktionsvermögen des Lesers, falls nun ϱ), σ) als Definitionen zugrunde gelegt werden sollten, aus diesen Formeln selbst ihre Vereinfachungsfähig- keit zu erkennen und von ihnen zu den Definitionsformen (4×) resp. (5×) zurückzugelangen — so, wie wir in der That in § 6 die Zurückführung der Def. (4×) auf die (3×) mittelst verbalen Räsonnements geleistet haben, welches natürlich nun nachträglich auch ganz durch die Formelsprache des Aussagenkalkuls ersetzt werden könnte. τ) Schliesslich wollen wir untersuchen, in welcher Beziehung in den Theoremen 7) bis 11) der allgemeine Faktor unter dem Produktenzeichen [FORMEL] selbst zur andern Seite der Gleichung steht. Diese Beziehung ist die einer Überordnung, indem zu notifiziren ist, dass Zu 7×) (c  a b)  {(x  c)  (x  a) (x  b)}, Zu 8×) (a b  c)  {(x  a b)  (x  c)}, Zu 9×) (a b  c)  {(x  a) (x  b)  (x  c)}, Zu 10×) (c  a b)  {(a b  x)  (c  x)}, Zu 11×) (c = a b)  {(x  c) = (x  a) (x  b)}. Auf Grund der Def. (3×) sind diese Formeln leicht als solche, die im Gebietekalkul allgemeine Geltung haben, syllogistisch zu beweisen, und ebenso verifiziren sie sich als solche des Aussagenkalkuls nach der über ν) an- gegebenen, durch das Bisherige genugsam illustrirten Methode. Bei letzterem Verfahren wird augenscheinlich, dass die obigen Sub- sumtionen nicht als Gleichungen gelten, sondern dass vielmehr der Major jeweils den Minor um den Term x1, bei 10×) aber um das Glied x, über- trifft. Aussagenrechnerisch bewahrheiten sich demnach die Formeln: Zu *7×) {(x  c)  (x  a) (x  b)} = (c  a b) + (x = 0) etc. dagegen Zu *10×) {(a b  x)  (c  x)} = (c  a b) + (x = 1). Indessen kommt denselben nur die engere Geltung zu: die Formeln müssen sicher zutreffen, wenn a, b, c, x, 1 Aussagen bedeuten, brauchen es aber (wie wir sogleich sehen werden) keineswegs zu thun, falls diese Symbole [Abbildung] [Abbildung Fig. 9] irgendwelche Gebiete vorzustellen haben. Die Formeln mussten darum auch mit dem Sterne ausgezeichnet werden. In der That lassen leicht sich Beispiele nach- weisen — wie Fig. 9 — in welchen (x  c) = i, sowie (x  a b) = i, somit auch (x  c)  (x  a b) ist, und doch weder c  a b noch x = 0 besteht, sodass beispielsweise die erste unsrer Formeln, wie sie zuletzt unter „Zu *7×)“ angegeben, unmöglich für Ge- biete allgemeingültig sein kann.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 82. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/106>, abgerufen am 23.11.2024.