Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen. hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (b a1), das istb1 + a1, nichts ändern. Endlich bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen Zu Def. (2x) haben wir: Dass nämlich
[Formel 6]
(x1 + a) = x1 ist, ergibt sich folgendermassen. Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass Zu Th. 7x) haben wir:
[Formel 15]
{(x c) (x a) (x b)} =
[Formel 16]
{x1 + c (x1 + a) (x1 + b)} = § 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen. hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (b ⊆ a1), das istb1 + a1, nichts ändern. Endlich bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen Zu Def. (2×) haben wir: Dass nämlich
[Formel 6]
(x1 + a) = x1 ist, ergibt sich folgendermassen. Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass Zu Th. 7×) haben wir:
[Formel 15]
{(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)} =
[Formel 16]
{x1 + c ⊆ (x1 + a) (x1 + b)} = <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0101" n="77"/><fw place="top" type="header">§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.</fw><lb/> hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>), das ist<lb/><hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, nichts ändern.</p><lb/> <p><hi rendition="#g">Endlich</hi> bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird<lb/><formula/></p> <p>Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen<lb/> Produkt- und Summenzeichen vorkommen.</p><lb/> <p><hi rendition="#g">Zu</hi> Def. (2<hi rendition="#sub">×</hi>) haben wir:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = <formula/> (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) = <formula/> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>) = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> = 0) = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/> was übereinstimmt, ebenso zu Def. (2<hi rendition="#sub">+</hi>):<lb/><hi rendition="#c"><formula/> (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi>) = <formula/> (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) = <hi rendition="#i">x</hi> und (<hi rendition="#i">x</hi> = 1) = <hi rendition="#i">x</hi>.</hi></p><lb/> <p>Dass nämlich <formula/> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>) = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ist, ergibt sich folgendermassen.<lb/> Nach dem auf unbegrenzt viele Faktoren ausgedehnten Theorem 27<hi rendition="#sub">+</hi>)<lb/> muss sein:<lb/><hi rendition="#c"><formula/> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>) = <hi rendition="#i">b</hi> + <formula/> <hi rendition="#i">a</hi>, ebenso <formula/> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">b</hi> + <formula/> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/> und noch allgemeiner, wenn nur wieder <hi rendition="#i">b</hi> ein von <hi rendition="#i">a</hi> unabhängiges, be-<lb/> züglich des <hi rendition="#i">a</hi> konstantes Gebiet vorstellt:<lb/><hi rendition="#c"><formula/> {<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>)} = <hi rendition="#i">b</hi> + <formula/> <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>).</hi></p><lb/> <p>Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass<lb/><hi rendition="#c"><formula/><hi rendition="#i">a</hi> = 0 desgleichen <formula/> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0</hi><lb/> sein muss, in Anbetracht, dass unter allen möglichen Faktoren <hi rendition="#i">a</hi> (resp. <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)<lb/> deren Produkt zu bilden ist, sich gewiss auch disjunkte finden, z. B.<lb/> ein bestimmtes Gebiet <hi rendition="#i">a</hi> und daneben auch dessen Negation <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, wonach<lb/> also das Th. 22<hi rendition="#sub">×</hi>) in Kraft tritt.</p><lb/> <milestone rendition="#hr" unit="section"/> <p>Zu Th. 7<hi rendition="#sub">×</hi>) haben wir:</p><lb/> <p><formula/> {(<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>)} = <formula/> {<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>)} =<lb/> = <formula/> {<hi rendition="#i">x c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi>} = <formula/> (<hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi>, also = (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a b</hi>),<lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [77/0101]
§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (b  a1), das ist
b1 + a1, nichts ändern.
Endlich bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird
[FORMEL]
Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen
Produkt- und Summenzeichen vorkommen.
Zu Def. (2×) haben wir:
A = [FORMEL] (x  a) = [FORMEL] (x1 + a) = x1 und B = (x = 0) = x1,
was übereinstimmt, ebenso zu Def. (2+):
[FORMEL] (a  x) = [FORMEL] (a1 + x) = x und (x = 1) = x.
Dass nämlich [FORMEL] (x1 + a) = x1 ist, ergibt sich folgendermassen.
Nach dem auf unbegrenzt viele Faktoren ausgedehnten Theorem 27+)
muss sein:
[FORMEL] (b + a) = b + [FORMEL] a, ebenso [FORMEL] (b + a1) = b + [FORMEL] a1
und noch allgemeiner, wenn nur wieder b ein von a unabhängiges, be-
züglich des a konstantes Gebiet vorstellt:
[FORMEL] {b + f (a)} = b + [FORMEL] f (a).
Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass
[FORMEL] a = 0 desgleichen [FORMEL] a1 = 0
sein muss, in Anbetracht, dass unter allen möglichen Faktoren a (resp. a1)
deren Produkt zu bilden ist, sich gewiss auch disjunkte finden, z. B.
ein bestimmtes Gebiet a und daneben auch dessen Negation a1, wonach
also das Th. 22×) in Kraft tritt.
Zu Th. 7×) haben wir:
[FORMEL] {(x  c)  (x  a) (x  b)} = [FORMEL] {x1 + c  (x1 + a) (x1 + b)} =
= [FORMEL] {x c1 + x1 + a b} = [FORMEL] (c1 + a b + x1) = c1 + a b, also = (c  a b),
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 77. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/101>, abgerufen am 26.08.2024. |