Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.Sechzehnte Vorlesung. Zu Th. 24) ist
Zu Prinzip IIIx haben wir als Minor: Zum Hülfstheorem 29) haben wir: Zu Def. (6) ist A = (a x 0) (1 a + x) = (a1 + x1) (a + x) = a1 x + a x1, Zu Th. 41) haben wir: Beim Hülfstheorem zu Th. 47+) ist Beim Th. 49x): (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1, Sechzehnte Vorlesung. Zu Th. 24) ist
Zu Prinzip III× haben wir als Minor: Zum Hülfstheorem 29) haben wir: Zu Def. (6) ist A = (a x ⊆ 0) (1 ⊆ a + x) = (a1 + x1) (a + x) = a1 x + a x1, Zu Th. 41) haben wir: Beim Hülfstheorem zu Th. 47+) ist Beim Th. 49×): (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1, <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <pb facs="#f0100" n="76"/> <fw place="top" type="header">Sechzehnte Vorlesung.</fw><lb/> <p>Zu Th. 24) ist<lb/><table><row><cell>(<hi rendition="#i">a b</hi> = 1) = <hi rendition="#i">a b</hi> und</cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und</cell></row><lb/><row><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> = 1) (<hi rendition="#i">b</hi> = 1) = <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> = 0) (<hi rendition="#i">b</hi> = 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</cell></row><lb/></table></p> <p>Zu Prinzip III<hi rendition="#sub">×</hi> haben wir als Minor:<lb/><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">b c</hi> = 0) = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, und als Major <hi rendition="#i">B</hi> = 1, nämlich<lb/><hi rendition="#i">B</hi> = {<hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a c</hi>} = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a c</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + 1,<lb/> sonach läuft dasselbe auf: <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> 1 hinaus und erweist sich als richtig.</p><lb/> <p>Zum Hülfstheorem 29) haben wir:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a b</hi> = 0) (<hi rendition="#i">a c</hi> = 0) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = 1) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> = 1) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) =<lb/> = (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">a c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi>) oder (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>) = <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b c</hi>,</hi><lb/> und <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>) = <hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">A</hi> + (<hi rendition="#i">a b c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),</hi><lb/> wie durch Entwickelung des <hi rendition="#i">B</hi> auch nach <hi rendition="#i">a</hi> zu erkennen ist. 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(6) ist <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a x</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> 0) (1 <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/> desgleichen <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">x a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">a</hi>. Denselben Wert ergäbe:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a x</hi> = 0) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi> = 1).</hi><lb/><hi rendition="#et">Zu Th. 32) ist <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi>.<lb/> Zu Th. 37) <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">b</hi><hi 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Sechzehnte Vorlesung.
Zu Th. 24) ist
(a b = 1) = a b und (a + b = 0) = a1 b1 und
(a = 1) (b = 1) = a b (a = 0) (b = 0) = a1 b1.
Zu Prinzip III× haben wir als Minor:
A = (b c = 0) = b1 + c1, und als Major B = 1, nämlich
B = {a (b + c)  a b + a c} = a1 + b1 c1 + a b + a c = a1 + b + c + b1 c1 = a1 + 1,
sonach läuft dasselbe auf: b1 + c1  1 hinaus und erweist sich als richtig.
Zum Hülfstheorem 29) haben wir:
A = (a b = 0) (a c = 0) (a + b = 1) (a + c = 1) = (a1 + b1) (a1 + c1) (a + b) (a + c) =
= (a b1 + a1 b) (a c1 + a1 c) oder (a1 + b1 c1) (a + b c) = a b1 c1 + a1 b c,
und B = (b = c) = b c + b1 c1 = A + (a b c + a1 b1 c1),
wie durch Entwickelung des B auch nach a zu erkennen ist. Zudem ist
die Unterordnung von A unter B aus a1 b c  b c und a b1 c1  b1 c1 nach
Th. 6×) und 17+) ersichtlich.
Zu Def. (6) ist A = (a x  0) (1  a + x) = (a1 + x1) (a + x) = a1 x + a x1,
desgleichen B = (x = a1) = x a1 + x1 a. Denselben Wert ergäbe:
A = (a x = 0) (a + x = 1).
Zu Th. 32) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, B = (a1 = b1) = a1 b1 + a b.
Zu Th. 37) A = (a  b) = a1 + b, B = (b1  a1) = b + a1.
Zu Th. 38) ist: (a b1 = 0) = a1 + b, (a  b) = a1 + b, (a1 + b = 1) = a1 + b.
Zu Th. 39) (a b1 + a1 b = 0) = (a b + a1 b1 = 1) = a b + a1 b1, und
(a = b) = a b + a1 b1.
Zu Th. 40) ist A = (a c  b c) (a + c  b + c) = (a1 + c1 + b c) (a1 c1 + b + c) =
= a1 c1 + a1 b + a1 c + b c1 + b c = a1 · 1 + b · 1 = a1 + b und B = (a  b) = a1 + b.
Ebenso bei Zus. 2 ist A = (a c  b) (a  b + c) = (a1 + c1 + b) (a1 + b + c) = a1 + b.
Ferner bei Zus. 1 ist: A = (a c = b c) (a + c = b + c) =
= {a c · b c + (a1 + c1) (b1 + c1)} {(a + c) (b + c) + a1 c1 · b1 c1} = (a b c + a1 b1 + c1) (a b + c + a1 b1 c1) =
= a b c + a1 b1 c + a b c1 + a1 b1 c1 = a b + a1 b1, desgl. B = (a = b) = a b + a1 b1.
Zu Th. 41) haben wir:
(a b  c) = a1 + b1 + c = (a  b1 + c), etc., (a  b + c) = a1 + b + c = (a b1  c) etc.
Beim Hülfstheorem zu Th. 47+) ist
A = (a  x  b) = (a  x) (x  b) = (a1 + x) (x1 + b) = a1 x1 + b x
und B = (a x1 + b x = x) = (a x1 + b x) x + (a1 x1 + b1 x) x1 = b x + a1 x1.
Beim Th. 49×): (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1,
und (b  x  a1) = (b  x) (x  a1) = (b1 + x) (x1 + a1) = b1 x1 + a1 x;
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 76. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/100>, abgerufen am 26.08.2024. |