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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

[womit nach § 18, Th. p) auch y = z x1 + z1 x und z = x y1 + x1 y ge-
geben ist],
R5') x1 y1 z1 + x1 y z + y1 z x + z1 x y = 0 oder x = y z + y1 z1
(womit zugleich auch y = z x + z1 x1, z = x y + x1 y1 sein muss).

R6) x y z + x1 y z + y1 z x + z1 x y + x1 y1 z1 = 0, oder:
(x = y1 z1), y = z1 x1, z = x1 y1,

von welchen drei Gleichungen nämlich eine aus den zwei andern folgt
-- ein Satz, der denen § 18, p, s, t) sich anschliesst.

R6') x y z + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 + x1 y1 z1 = 0, oder
(x = y1 + z1), y = z1 + x1, z = x1 + y1.

R7) x1 y z + y1 z x + z1 x y + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0,

oder: (x + y + z) (x1 + y1 + z1) = 0, oder: x = y = z

(somit auch: x1 = y1 = z1)

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oder x + y + z = 0, oder: x = y = z = 0

R8') x1 y1 z1 + x1 y z + y1 z x + z1 x y + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0

oder x1 + y1 + z1 = 0, oder x = y = z = 1.

Von diesen Resultanten sind paarweise komplementär: R0 mit R9
(siehe oben die Fussnote)

R1 mit R8',		R1' mit R8,
	R2 und R7
R3 mit R6',		R3' mit R6
	R4 und R4'
	R5 und R5'

insofern die Polynome derselben (nicht aber die resultirenden Aus-
sagen selber) Negationen von einander sind -- wogegen die zum selben
Typus gehörigen (die hier gleich numerirt erscheinen und sich nur
durch den Accent unterscheiden) als solche, welche durch Vertauschung
der x, y, z mit ihren Negationen in einander übergehen, nur als ob-
verse von einander bezeichnet werden dürften.

Wir haben hienach nur sechs Haupttypen.

Die Vollständigkeit der Zusammenstellung nachzuweisen sei als
eine ganz leichte Aufgabe dem Leser überlassen.

Wie man einerseits die Gleichung R = 0 betrachten konnte als
die Resultante der Elimination von a, b, .. aus den gegebenen
Gleichungen

Schröder, Algebra der Logik 44

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

[womit nach § 18, Th. π) auch y = z x1 + z1 x und z = x y1 + x1 y ge-
geben ist],
R5') x1 y1 z1 + x1 y z + y1 z x + z1 x y = 0 oder x = y z + y1 z1
(womit zugleich auch y = z x + z1 x1, z = x y + x1 y1 sein muss).

R6) x y z + x1 y z + y1 z x + z1 x y + x1 y1 z1 = 0, oder:
(x = y1 z1), y = z1 x1, z = x1 y1,

von welchen drei Gleichungen nämlich eine aus den zwei andern folgt
— ein Satz, der denen § 18, π, σ, τ) sich anschliesst.

R6') x y z + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 + x1 y1 z1 = 0, oder
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Von diesen Resultanten sind paarweise komplementär: R0 mit R9
(siehe oben die Fussnote)

R1 mit R8',		R1' mit R8,
	R2 und R7
R3 mit R6',		R3' mit R6
	R4 und R4'
	R5 und R5'

insofern die Polynome derselben (nicht aber die resultirenden Aus-
sagen selber) Negationen von einander sind — wogegen die zum selben
Typus gehörigen (die hier gleich numerirt erscheinen und sich nur
durch den Accent unterscheiden) als solche, welche durch Vertauschung
der x, y, z mit ihren Negationen in einander übergehen, nur als ob-
verse von einander bezeichnet werden dürften.

Wir haben hienach nur sechs Haupttypen.

Die Vollständigkeit der Zusammenstellung nachzuweisen sei als
eine ganz leichte Aufgabe dem Leser überlassen.

Wie man einerseits die Gleichung R = 0 betrachten konnte als
die Resultante der Elimination von a, b, ‥ aus den gegebenen
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Schröder, Algebra der Logik 44

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[689/0709] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. [womit nach § 18, Th. π) auch y = z x1 + z1 x und z = x y1 + x1 y ge- geben ist], R5') x1 y1 z1 + x1 y z + y1 z x + z1 x y = 0 oder x = y z + y1 z1 (womit zugleich auch y = z x + z1 x1, z = x y + x1 y1 sein muss). R6) x y z + x1 y z + y1 z x + z1 x y + x1 y1 z1 = 0, oder: (x = y1 z1), y = z1 x1, z = x1 y1, von welchen drei Gleichungen nämlich eine aus den zwei andern folgt — ein Satz, der denen § 18, π, σ, τ) sich anschliesst. R6') x y z + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 + x1 y1 z1 = 0, oder (x = y1 + z1), y = z1 + x1, z = x1 + y1. R7) x1 y z + y1 z x + z1 x y + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0, oder: (x + y + z) (x1 + y1 + z1) = 0, oder: x = y = z (somit auch: x1 = y1 = z1) R8) x y z + x1 y z + y1 z x + z1 x y + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0 oder x + y + z = 0, oder: x = y = z = 0 R8') x1 y1 z1 + x1 y z + y1 z x + z1 x y + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0 oder x1 + y1 + z1 = 0, oder x = y = z = 1. Von diesen Resultanten sind paarweise komplementär: R0 mit R9 (siehe oben die Fussnote) R1 mit R8', R1' mit R8, R2 und R7 R3 mit R6', R3' mit R6 R4 und R4' R5 und R5' insofern die Polynome derselben (nicht aber die resultirenden Aus- sagen selber) Negationen von einander sind — wogegen die zum selben Typus gehörigen (die hier gleich numerirt erscheinen und sich nur durch den Accent unterscheiden) als solche, welche durch Vertauschung der x, y, z mit ihren Negationen in einander übergehen, nur als ob- verse von einander bezeichnet werden dürften. Wir haben hienach nur sechs Haupttypen. Die Vollständigkeit der Zusammenstellung nachzuweisen sei als eine ganz leichte Aufgabe dem Leser überlassen. Wie man einerseits die Gleichung R = 0 betrachten konnte als die Resultante der Elimination von a, b, ‥ aus den gegebenen Gleichungen Schröder, Algebra der Logik 44

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 689. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/709>, abgerufen am 22.11.2024.

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