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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

tion des Negirens nur die eine der beiden direkten Operationen des
Kalkuls auf die Elemente a und b der Gruppe anzuwenden.

In der That sind also im identischen Kalkul nur die aufgezählten
fünferlei Arten der Gruppenbildung möglich, von welchen die letzte
als die wichtigste diejenige ist, mit der wir uns vorwiegend be-
schäftigten.

Wir können auch das Substrat der hier untersuchten "Gruppen"
benutzen, um (auf's neue) jene Behauptung des § 12 unsrer Theorie
zu erhärten: dass die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes nicht
syllogistisch beweisbar ist.

Im logischen Kalkul mit "Gruppen" (speziell von Ausdrücken,
Funktionen, wie sie im identischen Kalkul vorkommen) gilt in der
That diese zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes im allgemeinen
nicht und gelten gleichwol doch alle andern Sätze des identischen
Kalkuls, wie solche bis einschliesslich des § 11 der Theorie entwickelt
worden -- insbesondre natürlich also auch die erste Subsumtion des
Distributionsgesetzes.

Um gedachten Nachweis zu leisten, braucht man sich nur nach
der oben von uns begründeten Methode von der Vollständigkeit nach-
stehender vier Gruppen zu überzeugen, die wir kurz mit den links bei-
gesetzten Buchstaben bezeichnen wollen:
A = G8 (a b c, a b + a c + b c) = {0, 1, a b c, a1 + b1 + c1,
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C = G16 (a c, b c) = {0, 1, a c, b c, a1 + c1, b1 + c1, a b c, a b1 c, a1 b c,
a1 + b1 + c1, a1 + b + c1, a + b1 + c1, c (a + b), c1 + a1 b1, c (a b1 + a1 b), c1 + a b + a1 b1},
D = G32 (a b, a c, b c) = {0, 1, a b, a c, b c, a1 + b1, a1 + c1, b1 + c1,
a b c, a b c1, a b1 c, a1 b c, a1 + b1 + c1, a1 + b1 + c, a1 + b + c1, a + b1 + c1,
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a b + a c + b c, a1 b1 + a1 c1 + b1 c1, a1 b c + a b1 c + a b c1, a b c + a1 b1 + a1 c1 + b1 c1}.

Die drei ersten von diesen: A, B, C, sind Untergruppen der vierten
D, was selbstverständlich erscheint auch bei der ersten A, in An-
betracht, dass die Bestimmungselemente von dieser nichts anderes sind,
als Produkt und Summe der Bestimmungselemente von D.

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

tion des Negirens nur die eine der beiden direkten Operationen des
Kalkuls auf die Elemente a und b der Gruppe anzuwenden.

Wir können auch das Substrat der hier untersuchten „Gruppen“
benutzen, um (auf's neue) jene Behauptung des § 12 unsrer Theorie
zu erhärten: dass die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes nicht
syllogistisch beweisbar ist.

Im logischen Kalkul mit „Gruppen“ (speziell von Ausdrücken,
Funktionen, wie sie im identischen Kalkul vorkommen) gilt in der
That diese zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes im allgemeinen
nicht und gelten gleichwol doch alle andern Sätze des identischen
Kalkuls, wie solche bis einschliesslich des § 11 der Theorie entwickelt
worden — insbesondre natürlich also auch die erste Subsumtion des
Distributionsgesetzes.

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[685/0705] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. tion des Negirens nur die eine der beiden direkten Operationen des Kalkuls auf die Elemente a und b der Gruppe anzuwenden. In der That sind also im identischen Kalkul nur die aufgezählten fünferlei Arten der Gruppenbildung möglich, von welchen die letzte als die wichtigste diejenige ist, mit der wir uns vorwiegend be- schäftigten. Wir können auch das Substrat der hier untersuchten „Gruppen“ benutzen, um (auf's neue) jene Behauptung des § 12 unsrer Theorie zu erhärten: dass die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes nicht syllogistisch beweisbar ist. Im logischen Kalkul mit „Gruppen“ (speziell von Ausdrücken, Funktionen, wie sie im identischen Kalkul vorkommen) gilt in der That diese zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes im allgemeinen nicht und gelten gleichwol doch alle andern Sätze des identischen Kalkuls, wie solche bis einschliesslich des § 11 der Theorie entwickelt worden — insbesondre natürlich also auch die erste Subsumtion des Distributionsgesetzes. Um gedachten Nachweis zu leisten, braucht man sich nur nach der oben von uns begründeten Methode von der Vollständigkeit nach- stehender vier Gruppen zu überzeugen, die wir kurz mit den links bei- gesetzten Buchstaben bezeichnen wollen: A = G8 (a b c, a b + a c + b c) = {0, 1, a b c, a1 + b1 + c1, a b + a c + b c, a1 b1 + a1 c1 + b1 c1, a1 b c + a b1 c + a b c1, a b c + a1 b1 + a1 c1 + b1 c1}, B = G16 (a b, b c) = {0, 1, a b, b c, a1 + b1, a1 + c1, a b c, a b c1, a1 b c, a1 + b1 + c1, a1 + b1 + c, a + b1 + c1, b (a + c), b1 + a1 c1, b (a c1 + a1 c), b1 + a c + a1 c1}, C = G16 (a c, b c) = {0, 1, a c, b c, a1 + c1, b1 + c1, a b c, a b1 c, a1 b c, a1 + b1 + c1, a1 + b + c1, a + b1 + c1, c (a + b), c1 + a1 b1, c (a b1 + a1 b), c1 + a b + a1 b1}, D = G32 (a b, a c, b c) = {0, 1, a b, a c, b c, a1 + b1, a1 + c1, b1 + c1, a b c, a b c1, a b1 c, a1 b c, a1 + b1 + c1, a1 + b1 + c, a1 + b + c1, a + b1 + c1, a (b + c), b (a + c), c (a + b), a1 + b1 c1, b1 + a1 c1, c1 + a1 b1, a (b c1 + b1 c), b (a c1 + a1 c), c (a b1 + a1 b), a1 + b c + b1 c1, b1 + a c + a1 c1, c1 + a b + a1 b1, a b + a c + b c, a1 b1 + a1 c1 + b1 c1, a1 b c + a b1 c + a b c1, a b c + a1 b1 + a1 c1 + b1 c1}. Die drei ersten von diesen: A, B, C, sind Untergruppen der vierten D, was selbstverständlich erscheint auch bei der ersten A, in An- betracht, dass die Bestimmungselemente von dieser nichts anderes sind, als Produkt und Summe der Bestimmungselemente von D.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 685. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/705>, abgerufen am 16.02.2025.

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