Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Um den Abstand irgend zweier Glieder dieser Summe zu erfahren, setze
man sie mit den gleichstelligen Ziffern (ihrer dyadischen Ordnungszahlen)
unter einander, und setze eine Null an, wo zwei gleiche Ziffern (zwei
Nullen oder zwei Einser) unter einander stehen, eine Eins, wo zwei un-
gleiche Ziffern (0 und 1 oder 1 und 0) unter einander stehen. Der ge-
suchte Abstand ist die Ziffernsumme ("Quersumme") des so gebildeten
Ansatzes. [Den letztern könnte man als das "symbolische Produkt" der
beiden Glieder im Sinne meiner Abhandlung8 § 9 und 10 hinstellen.]

Für 0, 1, 2 Aushebungen hat man jedenfalls bezüglich 1, 1, n als
Typenzahlen. Doch schon für 3 Aushebungen ist die Typenzahl mit ihren
den Typen einzeln zugehörigen Formenzahlen nur sehr mühsam zu ge-
winnen.

Das Problem sei den Mathematikern zur Weiterführung empfohlen. --

Was die eingangs angeregte Frage nach der Gliederung einer
gegebenen Gruppe in Untergruppen, und deren Anzahl, betrifft, so ist
dieselbe noch sehr leicht empirisch für G (a) und G (a, b) zu beant-
worten.

Es enthält nämlich*) G4 (a) = (0, 1, a, a1) -- ausser sich selbst
-- nur die eine Untergruppe G2 (0) = (0, 1).

G16 (a, b) enthält als Untergruppen
erstens die Nullgruppe G2 (0);
zweitens die sieben vierelementigen Gruppen:
G4 (a), G4 (b), G4 (a b), G4 (a b1), G4 (a1 b), G4 (a1 b1), G4 (a b1 + a1 b)
drittens die sechs achtelementigen Gruppen:

G8 (a, a b) = (0, 1, a, a1, a b, a1 + b1, a b1, a1 + b),

G8 (b, a b) = (0, 1, b, b1, a b, a1 + b1, a1 b, a + b1),

G8 (a, a1 b) = (0, 1, a, a1, a1 b, a + b1, a1 b1, a + b),

G8 (b, a b1) = (0, 1, b, b1, a b1, a1 + b, a1 b1, a + b),

G8 (a b, a1 b1) = (0, 1, a b, a1 + b1, a1 b1, a + b, a b + a1 b1, a b1 + a1 b),

G8 (a b1, a1 b) = (0, 1, a b1, a1 + b, a1 b, a + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b)

viertens sich selber als 16 elementige Gruppe. Zusammen enthält
G (a, b) also 1 + 7 + 6 + 1 = 15 Untergruppen.

Die Gliederung auch dieser Untergruppen wäre leicht in ähnlicher
Weise anzugeben.

Dagegen ist die analoge Aufgabe, die Untergruppen von G256 (a,
b, c) vollständig anzugeben, eine noch ungelöste und signalisirt sich

*) Der Deutlichkeit zuliebe fügen wir die Elementezahl der Gruppe dem
Buchstaben G als Suffix bei.

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Um den Abstand irgend zweier Glieder dieser Summe zu erfahren, setze
man sie mit den gleichstelligen Ziffern (ihrer dyadischen Ordnungszahlen)
unter einander, und setze eine Null an, wo zwei gleiche Ziffern (zwei
Nullen oder zwei Einser) unter einander stehen, eine Eins, wo zwei un-
gleiche Ziffern (0 und 1 oder 1 und 0) unter einander stehen. Der ge-
suchte Abstand ist die Ziffernsumme („Quersumme“) des so gebildeten
Ansatzes. [Den letztern könnte man als das „symbolische Produkt“ der
beiden Glieder im Sinne meiner Abhandlung8 § 9 und 10 hinstellen.]

Das Problem sei den Mathematikern zur Weiterführung empfohlen. —

Es enthält nämlich*) G4 (a) = (0, 1, a, a1) — ausser sich selbst
— nur die eine Untergruppe G2 (0) = (0, 1).

G8 (a, a b) = (0, 1, a, a1, a b, a1 + b1, a b1, a1 + b),

G8 (b, a b) = (0, 1, b, b1, a b, a1 + b1, a1 b, a + b1),

G8 (a, a1 b) = (0, 1, a, a1, a1 b, a + b1, a1 b1, a + b),

G8 (b, a b1) = (0, 1, b, b1, a b1, a1 + b, a1 b1, a + b),

G8 (a b, a1 b1) = (0, 1, a b, a1 + b1, a1 b1, a + b, a b + a1 b1, a b1 + a1 b),

G8 (a b1, a1 b) = (0, 1, a b1, a1 + b, a1 b, a + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b)

viertens sich selber als 16 elementige Gruppe. Zusammen enthält
G (a, b) also 1 + 7 + 6 + 1 = 15 Untergruppen.

Die Gliederung auch dieser Untergruppen wäre leicht in ähnlicher
Weise anzugeben.

Dagegen ist die analoge Aufgabe, die Untergruppen von G256 (a,
b, c) vollständig anzugeben, eine noch ungelöste und signalisirt sich

*) Der Deutlichkeit zuliebe fügen wir die Elementezahl der Gruppe dem
Buchstaben G als Suffix bei.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0703" n="683"/><fw place="top" type="header">Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.</fw><lb/>
Um den Abstand irgend zweier Glieder dieser Summe zu erfahren, setze<lb/>
man sie mit den gleichstelligen Ziffern (ihrer dyadischen Ordnungszahlen)<lb/>
unter einander, und setze eine Null an, wo zwei gleiche Ziffern (zwei<lb/>
Nullen oder zwei Einser) unter einander stehen, eine Eins, wo zwei un-<lb/>
gleiche Ziffern (0 und 1 oder 1 und 0) unter einander stehen. Der ge-<lb/>
suchte Abstand ist die Ziffernsumme (&#x201E;Quersumme&#x201C;) des so gebildeten<lb/>
Ansatzes. [Den letztern könnte man als das &#x201E;symbolische Produkt&#x201C; der<lb/>
beiden Glieder im Sinne meiner Abhandlung<hi rendition="#sup">8</hi> § 9 und 10 hinstellen.]</p><lb/>
          <p>Für 0, 1, 2 Aushebungen hat man jedenfalls bezüglich 1, 1, <hi rendition="#i">n</hi> als<lb/>
Typenzahlen. Doch schon für 3 Aushebungen ist die Typenzahl mit ihren<lb/>
den Typen einzeln zugehörigen Formenzahlen nur sehr mühsam zu ge-<lb/>
winnen.</p><lb/>
          <p>Das Problem sei den Mathematikern zur Weiterführung empfohlen. &#x2014;</p><lb/>
          <milestone rendition="#hr" unit="section"/>
          <p>Was die eingangs angeregte Frage nach der Gliederung einer<lb/>
gegebenen Gruppe in Untergruppen, und deren Anzahl, betrifft, so ist<lb/>
dieselbe noch sehr leicht empirisch für <hi rendition="#i">G</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>) und <hi rendition="#i">G</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>) zu beant-<lb/>
worten.</p><lb/>
          <p>Es enthält nämlich<note place="foot" n="*)">Der Deutlichkeit zuliebe fügen wir die Elementezahl der Gruppe dem<lb/>
Buchstaben <hi rendition="#i">G</hi> als Suffix bei.</note> <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>) = (0, 1, <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) &#x2014; ausser sich selbst<lb/>
&#x2014; nur die <hi rendition="#i">eine</hi> Untergruppe <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">2</hi> (0) = (0, 1).</p><lb/>
          <p><hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">16</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>) enthält als Untergruppen<lb/>
erstens die Nullgruppe <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">2</hi> (0);<lb/>
zweitens die sieben vierelementigen Gruppen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>), <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">b</hi>), <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">a b</hi>), <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>), <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>), <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>), <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/>
drittens die sechs achtelementigen Gruppen:</p><lb/>
          <list>
            <item><hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">8</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi>) = (0, 1, <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>),</item><lb/>
            <item><hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">8</hi> (<hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi>) = (0, 1, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),</item><lb/>
            <item><hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">8</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>) = (0, 1, <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>),</item><lb/>
            <item><hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">8</hi> (<hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = (0, 1, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>),</item><lb/>
            <item><hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">8</hi> (<hi rendition="#i">a b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = (0, 1, <hi rendition="#i">a b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>),</item><lb/>
            <item><hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">8</hi> (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>) = (0, 1, <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>)</item>
          </list><lb/>
          <p>viertens sich selber als 16 elementige Gruppe. Zusammen enthält<lb/><hi rendition="#i">G</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>) also 1 + 7 + 6 + 1 = 15 Untergruppen.</p><lb/>
          <p>Die Gliederung auch dieser Untergruppen wäre leicht in ähnlicher<lb/>
Weise anzugeben.</p><lb/>
          <p>Dagegen ist die analoge Aufgabe, die Untergruppen von <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">256</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>,<lb/><hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>) vollständig anzugeben, eine noch ungelöste und signalisirt sich<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[683/0703] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Um den Abstand irgend zweier Glieder dieser Summe zu erfahren, setze man sie mit den gleichstelligen Ziffern (ihrer dyadischen Ordnungszahlen) unter einander, und setze eine Null an, wo zwei gleiche Ziffern (zwei Nullen oder zwei Einser) unter einander stehen, eine Eins, wo zwei un- gleiche Ziffern (0 und 1 oder 1 und 0) unter einander stehen. Der ge- suchte Abstand ist die Ziffernsumme („Quersumme“) des so gebildeten Ansatzes. [Den letztern könnte man als das „symbolische Produkt“ der beiden Glieder im Sinne meiner Abhandlung8 § 9 und 10 hinstellen.] Für 0, 1, 2 Aushebungen hat man jedenfalls bezüglich 1, 1, n als Typenzahlen. Doch schon für 3 Aushebungen ist die Typenzahl mit ihren den Typen einzeln zugehörigen Formenzahlen nur sehr mühsam zu ge- winnen. Das Problem sei den Mathematikern zur Weiterführung empfohlen. — Was die eingangs angeregte Frage nach der Gliederung einer gegebenen Gruppe in Untergruppen, und deren Anzahl, betrifft, so ist dieselbe noch sehr leicht empirisch für G (a) und G (a, b) zu beant- worten. Es enthält nämlich *) G4 (a) = (0, 1, a, a1) — ausser sich selbst — nur die eine Untergruppe G2 (0) = (0, 1). G16 (a, b) enthält als Untergruppen erstens die Nullgruppe G2 (0); zweitens die sieben vierelementigen Gruppen: G4 (a), G4 (b), G4 (a b), G4 (a b1), G4 (a1 b), G4 (a1 b1), G4 (a b1 + a1 b) drittens die sechs achtelementigen Gruppen: G8 (a, a b) = (0, 1, a, a1, a b, a1 + b1, a b1, a1 + b), G8 (b, a b) = (0, 1, b, b1, a b, a1 + b1, a1 b, a + b1), G8 (a, a1 b) = (0, 1, a, a1, a1 b, a + b1, a1 b1, a + b), G8 (b, a b1) = (0, 1, b, b1, a b1, a1 + b, a1 b1, a + b), G8 (a b, a1 b1) = (0, 1, a b, a1 + b1, a1 b1, a + b, a b + a1 b1, a b1 + a1 b), G8 (a b1, a1 b) = (0, 1, a b1, a1 + b, a1 b, a + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b) viertens sich selber als 16 elementige Gruppe. Zusammen enthält G (a, b) also 1 + 7 + 6 + 1 = 15 Untergruppen. Die Gliederung auch dieser Untergruppen wäre leicht in ähnlicher Weise anzugeben. Dagegen ist die analoge Aufgabe, die Untergruppen von G256 (a, b, c) vollständig anzugeben, eine noch ungelöste und signalisirt sich *) Der Deutlichkeit zuliebe fügen wir die Elementezahl der Gruppe dem Buchstaben G als Suffix bei.

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/703
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 683. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/703>, abgerufen am 23.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.