Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Anhang 6.

a durch b₁, somit a₁ durch b,
b durch c₁, „ b₁ durch c,
c durch a, („ c₁ durch a₁).

Bringt man sich aber zum Bewusstsein, dass gleichzeitig a₁ durch b und b
durch c₁ (desgleichen b₁ durch c und c durch a) ersetzt werden solle (im
ersten Ausdrucke), so liegt das Missverständniss, der Wahn, nahe, als ob
etwa a₁ durch c₁ (desgl. b₁ durch a) zu ersetzen wäre. Dies ist nicht der
Fall, denn das b (des ersten Ausdruckes) welches durch c₁ daselbst ersetzt
werden soll, ist ein ganz anderes Gebietsymbol, als das b (des zweiten
Ausdruckes), durch welches das a₁ (im ersten) zu ersetzen war.

Dem Missverständniss wird vorgebeugt, wenn man sich die Buchstaben
des zweiten Ausdruckes mit Accenten versieht, wo dann zu sagen ist, dass
man a durch b₁', b durch c₁', c durch a', somit auch zugleich a₁ durch b',
b₁ durch c', (c₁ durch a₁') zu ersetzen habe.

Jedenfalls wird man bei Beachtung dieser einfachen Vorsichtsmassregel
leichter und sicherer diejenigen (oder solche) Vertauschungen ausfindig
machen, welche den einen Ausdruck in den andern überführen, sofern es
deren gibt — und andernfalles wird man ebenso die Unmöglichkeit solcher
Verwandlung bequemer erkennen.

In vielen Fällen freilich — wo Vertauschungen von immer nur zwei
Buchstaben auf einmal, sogenannte „Transpositionen“ schon hinreichen, die
beabsichtigte Überführung zustande zu bringen, und zwar solche Trans-
positionen, die nie einen Buchstaben als Vertauschungselement miteinander
gemein haben — braucht man nicht zu solcher Weitläufigkeit (der Ein-
führung und Wiederfortlassung von Accenten) seine Zuflucht zu nehmen.

Man erkennt z. B. augenblicklich, dass von den beiden Ausdrücken:
a b + a c + a₁ b₁ c₁ und a b + b c₁ + a₁ b₁ c
der eine aus dem andern durch Vertauschung von a mit b und zugleich
von c mit c₁ hervorgeht, mithin auch diese von einerlei Art sein werden.

[Wo dagegen sog. „cyklische“ Vertauschungen von höherer Ordnung,
Vertauschungen im Ringe herum erforderlich werden, wie beim vorher-
gehenden Beispiel die Ersetzung von a durch b₁, von b₁ durch c und von
c durch a, da möchte die kleine Weitläufigkeit sich für den Anfänger
lohnen.]

Nicht vom selben Typus sind z. B. die beiden Ausdrücke:
a b + a₁ b₁ und a b + a b₁
deren zweiter sich auf a reduzirt. Was für unabhängig beliebige Gebiete
man auch für a und b einsetzen möge, nie wird derselbe hier in den
zweiten übergehen, wie leicht durchzuprobiren wäre.

Die „Gruppe von a und b“ besteht aus 16 Elementen, als da sind:
G (a, b) = {0, 1, a, b, a₁, b₁, a b, a b₁, a₁ b, a₁ b₁, a + b, a + b₁,
a₁ + b, a₁ + b₁, a b + a₁ b₁, a b₁ + a₁ b}

Dass diese Ausdrücke in der That durch die identischen Spezies
aus a und b „ableitbar“, nämlich abgeleitet sind, ist augenscheinlich.