Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Anhang 6.

G (0) = G (1) = G {0, 1} = {0, 1};
G (a) = G (a₁) = G {0, 1, a, a₁} = {0, 1, a, a₁}
und zudem = G (a, a₁) = G (0, a) = G (1, a) = G (0, a₁) = G (1, a₁) =
= G (0, a, a₁) = G (1, a, a₁) = G (a₁, a) = G (a, 0) = etc.
indem es auch auf die Reihenfolge bei der Angabe der Elemente nicht an-
kommen wird.

Nehmen wir in G (a) das a gleich 0 an, so entsteht:
G (0) = {0, 1, 0, 1} = {0, 1},
und ebenso für a = 1 erhalten wir G (1) = {0, 1, 1, 0} was sich eben-
falls zu {0, 1} „reduzirt“ — in Illustration des im vorigen Kontext
Gesagten.

Die Nullgruppe besteht aus zwei, die Gruppe von a schlechtweg aus
vier Elementen, weil zunächst in ihr das a als beliebig zu denken.

Bei der Angabe von ausreichenden Bestimmungselementen einer
Gruppe wird indess im Allgemeinen darauf zu halten sein, dass man
sich unnötiger Weitläufigkeiten nicht schuldig mache, d. h. es sind
überflüssige Elemente dabei zu unterdrücken. Als „überflüssig“ wird die
Angabe eines Bestimmungselementes dann zu bezeichnen sein, wenn
dasselbe aus den bereits angegebenen (resp. den übrigen „Bestimmungs-
elementen“) durch die erlaubten Operationen, eben der drei Spezies,
schon ableitbar ist.

So ist bei G (a, a₁) das a₁ ein überflüssiges Bestimmungselement, wes-
halb es besser unterdrückt und die betreffende Gruppe einfacher mit G (a)
dargestellt wird. Resp. falls man a₁ beibehalten will, so wird a als über-
flüssig zu unterdrücken sein.

Kommen überflüssige Bestimmungselemente nicht (mehr oder von
vornherein nicht) vor, so ist das System der Bestimmungselemente ein
„reduzirtes“. Wir haben dann „ein ausreichendes System von unent-
behrlichen Bestimmungselementen“ (welche freilich allemal auch durch
ganz andere vertreten werden könnten, und darum nur in einem ge-
wissen Sinne als „unentbehrliche“ hingestellt werden dürfen — näm-
lich als „nicht-überflüssige“ — wie aus dem Obigen erhellt). Auf ein
solches System soll der schlechtweg gebrauchte Name „System von
Bestimmungselementen“ künftig immer hinweisen. —

Unsre nächste Aufgabe sei: die Gruppen aufzusuchen der Aus-
drücke, welche mittelst zwei, resp. 3, resp. 4 Buchstaben a, b, c, d
gebildet werden können. So weit thunlich mögen wir auch zusehen,
auf welche Art diese Gruppen in Untergruppen sich gliedern. Vor
allem aber kommt es darauf an, die Anzahl und Beschaffenheit der
verschiedenen „Arten“ oder „Typen“ zu ermitteln, von welchen die als
Elemente der Gruppe auftretenden Ausdrücke sein werden.