Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Anhang 6.

So bilden — um das einfachste Beispiel voranzustellen — die
beiden Ausdrücke
0 und 1
zusammen eine Gruppe — nebenbei bemerkt: die „Nullgruppe“ — weil
auch ihre Negationen 1 und 0 sind, die multiplikativen sowol als die
additiven Verknüpfungen dieser beiden Symbole aber immer wieder
auf 0 und 1 selbst nach den Theoremen 22) und 23) hinauslaufen.

Kommt in einer Gruppe auch nur ein Buchstabe (oder auch Buch-
stabenausdruck) a vor, so enthält die Gruppe notwendig auch dessen
Negation a₁, welche es ja möglich ist, mittelst Negirens aus ihm ab-
zuleiten. Dann lässt aber auch a · a₁, welches gleich 0 ist, und a + a₁,
welches gleich 1 ist, sich mittelst identischer Spezies aus diesen ver-
fügbaren Elementen ableiten, und folglich muss die Gruppe — sofern
sie diesen Namen wirklich verdiente — auch die Symbole 0 und 1
enthalten haben, d. h.

Die Nullgruppe ist (selbstverständlicher) Bestandteil einer jeden
Gruppe.

Es bilden, wie leicht nachzuweisen, die Symbole
0, 1, a, a₁
selbst wieder eine Gruppe. Wir nennen sie die „Gruppe von a“, weil
sie aus a allein, wie gezeigt, schon ganz ableitbar ist.

Die Gruppe von a₁ fällt hienach zusammen mit der Gruppe von a,
die Nullgruppe auch mit der Gruppe von 1.

Wenn in einer Gruppe ein gewisses System von Elementen für
sich schon eine Gruppe bildet, so nennt man diese eine „Untergruppe“
von jener, jene auch, wenn man will, eine „Übergruppe“ von dieser —
vergl. Anhang 4, Schluss.

So war die Nullgruppe eine Untergruppe der a-Gruppe, gleichwie
überhaupt von jeder erdenklichen Gruppe zu nennen.

In der Gruppe von a kann indess (wie schon angedeutet) der
Buchstabe a auch durch irgend einen Ausdruck, eine Funktion des
identischen Kalkuls vertreten sein, und sind z. B.
0, 1, a b, a₁ + b₁
0, 1, a + b, a₁ b₁
0, 1, a b₁, a₁ + b
etc., noch allgemeiner:
0, 1, f (a, b, c, …), f₁ (a, b, c, …)
nach dem Obigen ebenfalls richtige Gruppen, die wir als die „Gruppe