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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 5.
1 = 1 · 1 = 2 · 2 = 3 · 3 = 4 · 4
2 = 1 · 2 = 2 · 1 = 3 · 4 = 4 · 3
3 = 1 · 3 = 3 · 1 = 2 · 4 = 4 · 2
4 = 1 · 4 = 4 · 1 = 2 · 3 = 3 · 2,
desgleichen auch schon für ein Zahlengebiet von nur zwei Elementen,
1 und 2, durch das erste Viertel dieser Tafel -- (es sind das die
Funktionstafeln 10,0)2 und 10,0)4 von (l. c.)7.

Überzeugen wir uns wenigstens für ein Beispiel davon, dass solches
in der That der Fall ist. Unter anderm müsste etwa gelten:
[Formel 1] -- eine Formel, aus der nebenbei gesagt, alle übrigen von U fliessen, die
somit für sich schon eine ausreichende Prämisse des Algorithmus U0 bildet
(dergleichen er 156 innerhalb U besitzt). In der Formel dürfen wir nun
für a, b, c irgendwelche von den Ziffern 1, 2, 3, 4 setzen, und müssen,
falls sie gültig, allemal eine richtige Gleichung erhalten. So muss sich
z. B. herausstellen, dass
[Formel 2] , sowie auch [Formel 3] ,
etc. ist. Um dies nachzusehen entnehmen wir aus der zweiten Zeile der
Tafel vom letzten "Produkte" (als zusammengehalten mit seinem ange-
gebenen Werte 2) dass 2 : 4 = 3 ist, aus der vierten Zeile aber, dass
2 · 3 = 4. Durch Einsetzung dieser Werte kommt also die erstere Glei-
chung hinaus auf: [Formel 4] , und dass dieses richtig ist, indem beide Seiten
den Wert 1 haben, ist aus der dritten und vierten Zeile der Tafel vom
ersten "Produkt" zu entnehmen.

Ebenso kommt die andre Gleichung auf [Formel 5] oder 1 = 1 hinaus. --

Der Leser vergesse bei diesen Betrachtungen nicht, dass hier keines-
wegs von "eigentlichen" Produkten und Quotienten die Rede ist, für welche
ja das Einmaleins schon anderweitig feststeht. Vielmehr ist vorstehend
1 · 1 und 2 · 3 etc. nur aufzufassen als eine abgekürzte Schreibung ad hoc
für f (1, 1) und f (2, 3) etc., und konnten solche Funktionswerte bei der
Definition, tabellarischen Erklärung von f (x, y) doch nach Belieben fest-
gesetzt werden!

So leicht es nun auch für ein Beispiel sich erwies, das Erfülltsein
einer bestimmten Formel nachzusehen, so würde es doch bei ihr schon
sehr weitläufig werden, solches für alle Wertsysteme der Argumente aus
dem Zahlengebiete durchzuführen, und vollends kaum durchführbar, fast
eine Lebensaufgabe, bei allen 990 Formeln des Formelgebietes U denselben
empirischen Weg auszuschreiten.

Der Leser, welcher meinen in jedem beliebig herausgegriffenen Bei-
spiele sich bewährenden Behauptungen gleichwol den Glauben versagt, muss

Anhang 5.
1 = 1 · 1 = 2 · 2 = 3 · 3 = 4 · 4
2 = 1 · 2 = 2 · 1 = 3 · 4 = 4 · 3
3 = 1 · 3 = 3 · 1 = 2 · 4 = 4 · 2
4 = 1 · 4 = 4 · 1 = 2 · 3 = 3 · 2,
desgleichen auch schon für ein Zahlengebiet von nur zwei Elementen,
1 und 2, durch das erste Viertel dieser Tafel — (es sind das die
Funktionstafeln 10,0)2 und 10,0)4 von (l. c.)7.

Überzeugen wir uns wenigstens für ein Beispiel davon, dass solches
in der That der Fall ist. Unter anderm müsste etwa gelten:
[Formel 1] — eine Formel, aus der nebenbei gesagt, alle übrigen von U fliessen, die
somit für sich schon eine ausreichende Prämisse des Algorithmus U0 bildet
(dergleichen er 156 innerhalb U besitzt). In der Formel dürfen wir nun
für a, b, c irgendwelche von den Ziffern 1, 2, 3, 4 setzen, und müssen,
falls sie gültig, allemal eine richtige Gleichung erhalten. So muss sich
z. B. herausstellen, dass
[Formel 2] , sowie auch [Formel 3] ,
etc. ist. Um dies nachzusehen entnehmen wir aus der zweiten Zeile der
Tafel vom letzten „Produkte“ (als zusammengehalten mit seinem ange-
gebenen Werte 2) dass 2 : 4 = 3 ist, aus der vierten Zeile aber, dass
2 · 3 = 4. Durch Einsetzung dieser Werte kommt also die erstere Glei-
chung hinaus auf: [Formel 4] , und dass dieses richtig ist, indem beide Seiten
den Wert 1 haben, ist aus der dritten und vierten Zeile der Tafel vom
ersten „Produkt“ zu entnehmen.

Ebenso kommt die andre Gleichung auf [Formel 5] oder 1 = 1 hinaus. —

Der Leser vergesse bei diesen Betrachtungen nicht, dass hier keines-
wegs von „eigentlichen“ Produkten und Quotienten die Rede ist, für welche
ja das Einmaleins schon anderweitig feststeht. Vielmehr ist vorstehend
1 · 1 und 2 · 3 etc. nur aufzufassen als eine abgekürzte Schreibung ad hoc
für f (1, 1) und f (2, 3) etc., und konnten solche Funktionswerte bei der
Definition, tabellarischen Erklärung von f (x, y) doch nach Belieben fest-
gesetzt werden!

So leicht es nun auch für ein Beispiel sich erwies, das Erfülltsein
einer bestimmten Formel nachzusehen, so würde es doch bei ihr schon
sehr weitläufig werden, solches für alle Wertsysteme der Argumente aus
dem Zahlengebiete durchzuführen, und vollends kaum durchführbar, fast
eine Lebensaufgabe, bei allen 990 Formeln des Formelgebietes U denselben
empirischen Weg auszuschreiten.

Der Leser, welcher meinen in jedem beliebig herausgegriffenen Bei-
spiele sich bewährenden Behauptungen gleichwol den Glauben versagt, muss

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[634/0654] Anhang 5. 1 = 1 · 1 = 2 · 2 = 3 · 3 = 4 · 4 2 = 1 · 2 = 2 · 1 = 3 · 4 = 4 · 3 3 = 1 · 3 = 3 · 1 = 2 · 4 = 4 · 2 4 = 1 · 4 = 4 · 1 = 2 · 3 = 3 · 2, desgleichen auch schon für ein Zahlengebiet von nur zwei Elementen, 1 und 2, durch das erste Viertel dieser Tafel — (es sind das die Funktionstafeln 10,0)2 und 10,0)4 von (l. c.)7. Überzeugen wir uns wenigstens für ein Beispiel davon, dass solches in der That der Fall ist. Unter anderm müsste etwa gelten: [FORMEL] — eine Formel, aus der nebenbei gesagt, alle übrigen von U fliessen, die somit für sich schon eine ausreichende Prämisse des Algorithmus U0 bildet (dergleichen er 156 innerhalb U besitzt). In der Formel dürfen wir nun für a, b, c irgendwelche von den Ziffern 1, 2, 3, 4 setzen, und müssen, falls sie gültig, allemal eine richtige Gleichung erhalten. So muss sich z. B. herausstellen, dass [FORMEL], sowie auch [FORMEL], etc. ist. Um dies nachzusehen entnehmen wir aus der zweiten Zeile der Tafel vom letzten „Produkte“ (als zusammengehalten mit seinem ange- gebenen Werte 2) dass 2 : 4 = 3 ist, aus der vierten Zeile aber, dass 2 · 3 = 4. Durch Einsetzung dieser Werte kommt also die erstere Glei- chung hinaus auf: [FORMEL], und dass dieses richtig ist, indem beide Seiten den Wert 1 haben, ist aus der dritten und vierten Zeile der Tafel vom ersten „Produkt“ zu entnehmen. Ebenso kommt die andre Gleichung auf [FORMEL] oder 1 = 1 hinaus. — Der Leser vergesse bei diesen Betrachtungen nicht, dass hier keines- wegs von „eigentlichen“ Produkten und Quotienten die Rede ist, für welche ja das Einmaleins schon anderweitig feststeht. Vielmehr ist vorstehend 1 · 1 und 2 · 3 etc. nur aufzufassen als eine abgekürzte Schreibung ad hoc für f (1, 1) und f (2, 3) etc., und konnten solche Funktionswerte bei der Definition, tabellarischen Erklärung von f (x, y) doch nach Belieben fest- gesetzt werden! So leicht es nun auch für ein Beispiel sich erwies, das Erfülltsein einer bestimmten Formel nachzusehen, so würde es doch bei ihr schon sehr weitläufig werden, solches für alle Wertsysteme der Argumente aus dem Zahlengebiete durchzuführen, und vollends kaum durchführbar, fast eine Lebensaufgabe, bei allen 990 Formeln des Formelgebietes U denselben empirischen Weg auszuschreiten. Der Leser, welcher meinen in jedem beliebig herausgegriffenen Bei- spiele sich bewährenden Behauptungen gleichwol den Glauben versagt, muss

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 634. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/654>, abgerufen am 27.11.2024.