Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Anhang 4.

Gruppe, welche aus den Elementen von A und B zusammengenommen
ableitbar ist, welcher m. a. W. die Elemente der „identischen Summe“
der Elementesysteme A und B als Bestimmungselemente dienen. Die
erstere greift über die letztere im allgemeinen hinaus, wie gelegent-
lich gegebene Beispiele darthun.

Es würde nun blos eine Wiederholung desjenigen sein, was wir
im identischen oder Gebietekalkul bereits eingehendst durchgesprochen
haben (was uns ferner behufs Angliederung der Dedekind'schen
Kettentheorie obliegen wird, in neuer Fassung aufzufrischen) und was
wir endlich für das Substrat der Algorithmen im Eingang gegenwär-
tigen Anhanges erinnernd in Anspruch zu nehmen hatten, wollten wir
von neuem darlegen, wie aus den hiemit gegebenen Grundlagen wieder
alle Gesetze des identischen Kalkuls bis zu dem in § 12 charakteri-
sirten Divergenz- oder Abzweigungspunkte hin als auch für den
„Gruppenkalkul“ gültige fliessen. Wir dürfen diese Gesetze für ihn
hinfort ohne weiteres in Anspruch nehmen.

Ist der gruppenbildende Prozess eine „uninäre“ Knüpfung, d. h. eigent-
lich gar keine Knüpfung, sondern vielmehr eine Operation, mittelst welcher
je aus einem Elemente immer schon ein eventuell neues als Funktion oder
Bild desselben abgeleitet werden kann — wie z. B. im identischen Kalkul
die Operation des Negirens, in der Arithmetik die der Quadratwurzel-
ausziehung, oder die Herstellung des Briggs'schen Logarithmus, etc. — so
steht nichts im Wege die gedachte „Ableitung“ als eine „Abbildung“ an-
zusehen, und deckt sich der Begriff der „Gruppe“ mit dem Dedekind'schen
Begriff der „Kette“. Des Letzteren Ketten sind die durch einen Abbildungs-
prozess erzeugten Gruppen. Der Gruppentheorie ordnet die Theorie der
Ketten als ein besondrer Zweig sich unter.

Es könnte sogar scheinen als ob die letztere sich ebensoweit erstreckte,
wie die erstere. Denn ist die eindeutige Abbildung eine solche nur ein-
seitig, nicht auch umgekehrt, ist sie eine „unähnliche“, so mögen irgend-
viele Elemente das nämliche Bild haben. Dieses Bild als das Ergebniss
einer Verknüpfung jener Elemente hinzustellen, geht aber dann nicht an,
weil der Unterschied besteht, dass es diesen nicht erst in ihrer kollektiven
Verbindung, als dem Systeme derselben, sondern dass es ihnen bereits
einzeln genommen, distributiv oder generell, eindeutig entspricht. Immerhin
ergeben sich aus diesem Verhältnisse vielleicht Anknüpfungspunkte für beide
Theorieen.

Die Gruppentheorie ist hienach anzusehen als eine wirkliche Erweiterung
der Theorie der Ketten. —

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