Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Anhang 4.

Vorbehaltlich jedoch dessen, dass die als gegeben hingestellten Ele-
mente nicht bereits unverträglich miteinander seien und dass als Elemente
nicht etwa „Klassen von Elementen“ figuriren. Die erstere Forderung er-
scheint sofort als eine selbstverständliche. Bei Nichtbeachtung der letztern
aber müsste späterhin Verwirrung, Konfusion entstehen, es müssten Wider-
sprüche sich ergeben insofern keine Sicherheit, keine Garantie dagegen vor-
läge, dass wir nicht — bei den nötig fallenden Unterscheidungen zwischen
den Elementen — ein bestimmtes Element als solches (bei einer bestimmten
Betrachtung) auszuschliessen und zugleich dasselbe als ein Individuum einer
solchen Gattung oder Klasse, die selbst Element ist, zuzulassen hätten. Nur
höchstens kollcktive Zusammenfassungen von Elementen zu einem Systeme
solcher, nicht aber generelle (zu einer Gattung von solchen) wird man
wiederum als „Elemente“ gelten lassen dürfen. M. a. W. das System der
dem Prozess der Gruppenbildung zu unterwerfenden Elemente wird von
vornherein — in dem in den §§ 7, 9 und 16 erläuterten Sinne — eine
konsistente sowol als reine, wird eine gewöhnliche Mannigfaltigkeit sein
müssen, und auch der Prozess der Gruppenbildung ist der Einschränkung
zu unterwerfen, muss so beschaffen sein, dass jenes System bei seiner Er-
weiterung zur „Gruppe“ eine solche Mn. stets bleiben wird.

Die also aus den gegebenen Elementen ableitbaren Elemente bilden
mit diesen selbst zusammen ein System, welches die durch die erstern
bestimmte, denselben zugehörige „Gruppe“ zu nennen ist, und dürfen
jene als ausreichende „Bestimmungselemente“ dieser Gruppe hingestellt
werden.

Der Begriff der Gruppe ist hienach ein engerer als der des „Elemente-
systems“; jede Gruppe ist ein Elementesystem, aber nicht jedes Elemente-
system ist eine Gruppe.

Hienach ist klar, dass (zunächst) die Begriffserklärungen der Ein-
ordnung oder Subsumtion, der Gleichheit und der Unterordnung auf
die Gruppen ebenso anwendbar sein werden, wie auf die Elemente-
systeme überhaupt, und bedarf der Ansatz: A ⋹ B, oder die damit
äquivalente Redensart: die Gruppe A ist „Untergruppe“ der B, keiner
neuen Erklärung.

Die in der Wissenschaft eingeführte Arbeitsteilung bringt es mit
sich, dass auch gruppentheoretische Untersuchungen sich immer nur
auf eine (begrifflich) bestimmte Mannigfaltigkeit von Objekten des
Denkens zu beziehen haben, aus welcher nur die Bestimmungselemente
aller in Betracht zu ziehenden Gruppen allein hervorzuheben sind.
Diese Mannigfaltigkeit (die wir, wie gesagt als eine „gewöhnliche“
vorauszusetzen haben) bestimmt ihrerseits eine Gruppe, oder besser
gesagt, sie ist — wenn mit Rücksicht hierauf eben vollständig, um-
fassend genug, charakterisirt — schon selbst eine Gruppe.

Diese Gruppe, die umfassendste, welche alle denkbaren Gruppen