angenommen werden, auf Grund der "Prinzipien" hinzugefolgert werden können.*)
Diese logische Summe A + B greift über die "identische Summe" A (+) B der Formelsysteme im Allgemeinen hinaus -- wie sich nachher leicht durch Beispiele belegen lassen wird (Anhang 5, "Beleg 3").
Die letztere bedeutet bekanntlich das Formelsystem, zu welchem die Systeme A und B sich gegenseitig ergänzen; dieselbe wird im Allgemeinen kein "Algorithmus" sein, weil aus A und B zusammen als Prämissen sich oft noch weitere Gleichungen schliessen lassen werden, die weder dem A noch dem B für sich angehören.
Es ist demnach die logische Summe zweier Algorithmen etwa in folgender Weise durch eine Figur zu versinnlichen.
Sehr oft ereignet es sich, dass die logische Summe A + B sämtliche Gleichungen des Gebietes U umfasst. Diese konstituiren ja zusammen selbst einen Algorithmus: U0, welcher inner- halb des zur Illustration gewählten Substrates mit dem Formelsystem U zusammenfällt.
Dieser Algorithmus U0 möge -- für den
[Abbildung]
[Abbildung]
Fig. 31.
Augenblick -- mit dem Zahlzeichen 1 bezeichnet werden, eine Kon- vention, die sich dadurch rechtfertigt, dass alsdann die Gleichung A · 1 = A allgemein gelten wird. Dann gilt für jedes Individuum A in der Mannigfaltigkeit der zur Betrachtung vorliegenden Algorithmen auch das Analogon der Definition (2+): A 1.
Und endlich gelten die beiden Sätze, welche in der Theorie die Definition (3+) der identischen Summe zusammensetzten:
(3+)'. Wenn AX und BX, so ist auch A + BX.
(3+)'' Wenn A + BX, so ist auch AX und BX.
Da nach unsrer Definition der logischen Summe offenbar: Th. 6+) AA + B und BA + B sein muss, so erscheint der letztere Satz (3+)'' nach II als geradezu selbstverständlich: Wenn A nebst B und allem, was beide noch zur Folge haben, aus X folgt, so folgt natürlich auch A aus X und B aus X.
Weniger unmittelbar leuchtet der erstere Satz (3+)' ein.
Wäre X kein Algorithmus, sondern blos ein Formelsystem, aller-
*) Bei der "intensiven" Deutung würde unsre obige "Summe" als "Produkt" zu bezeichnen sein (unser "Produkt" aber nicht als "Summe").
40*
Addition.
angenommen werden, auf Grund der „Prinzipien“ hinzugefolgert werden können.*)
Diese logische Summe A + B greift über die „identische Summe“ A (+) B der Formelsysteme im Allgemeinen hinaus — wie sich nachher leicht durch Beispiele belegen lassen wird (Anhang 5, „Beleg 3“).
Die letztere bedeutet bekanntlich das Formelsystem, zu welchem die Systeme A und B sich gegenseitig ergänzen; dieselbe wird im Allgemeinen kein „Algorithmus“ sein, weil aus A und B zusammen als Prämissen sich oft noch weitere Gleichungen schliessen lassen werden, die weder dem A noch dem B für sich angehören.
Es ist demnach die logische Summe zweier Algorithmen etwa in folgender Weise durch eine Figur zu versinnlichen.
Sehr oft ereignet es sich, dass die logische Summe A + B sämtliche Gleichungen des Gebietes U umfasst. Diese konstituiren ja zusammen selbst einen Algorithmus: U0, welcher inner- halb des zur Illustration gewählten Substrates mit dem Formelsystem U zusammenfällt.
Dieser Algorithmus U0 möge — für den
[Abbildung]
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Fig. 31.
Augenblick — mit dem Zahlzeichen 1 bezeichnet werden, eine Kon- vention, die sich dadurch rechtfertigt, dass alsdann die Gleichung A · 1 = A allgemein gelten wird. Dann gilt für jedes Individuum A in der Mannigfaltigkeit der zur Betrachtung vorliegenden Algorithmen auch das Analogon der Definition (2+): A ⋹ 1.
Und endlich gelten die beiden Sätze, welche in der Theorie die Definition (3+) der identischen Summe zusammensetzten:
(3+)'. Wenn A ⋹ X und B ⋹ X, so ist auch A + B ⋹ X.
(3+)'' Wenn A + B ⋹ X, so ist auch A ⋹ X und B ⋹ X.
Da nach unsrer Definition der logischen Summe offenbar: Th. 6+) A ⋹ A + B und B ⋹ A + B sein muss, so erscheint der letztere Satz (3+)'' nach II als geradezu selbstverständlich: Wenn A nebst B und allem, was beide noch zur Folge haben, aus X folgt, so folgt natürlich auch A aus X und B aus X.
Weniger unmittelbar leuchtet der erstere Satz (3+)' ein.
Wäre X kein Algorithmus, sondern blos ein Formelsystem, aller-
*) Bei der „intensiven“ Deutung würde unsre obige „Summe“ als „Produkt“ zu bezeichnen sein (unser „Produkt“ aber nicht als „Summe“).
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Diese logische Summe A + B greift über die „identische Summe“
A (+) B der Formelsysteme im Allgemeinen hinaus — wie sich nachher
leicht durch Beispiele belegen lassen wird (Anhang 5, „Beleg 3“).
Die letztere bedeutet bekanntlich das Formelsystem, zu welchem
die Systeme A und B sich gegenseitig ergänzen; dieselbe wird im
Allgemeinen kein „Algorithmus“ sein, weil aus A und B zusammen
als Prämissen sich oft noch weitere Gleichungen schliessen lassen
werden, die weder dem A noch dem B für sich angehören.
Es ist demnach die logische Summe zweier Algorithmen etwa in
folgender Weise durch eine Figur zu versinnlichen.
Sehr oft ereignet es sich, dass die logische
Summe A + B sämtliche Gleichungen des Gebietes
U umfasst. Diese konstituiren ja zusammen
selbst einen Algorithmus: U0, welcher inner-
halb des zur Illustration gewählten Substrates
mit dem Formelsystem U zusammenfällt.
Dieser Algorithmus U0 möge — für den
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[Abbildung Fig. 31.]
Augenblick — mit dem Zahlzeichen 1 bezeichnet werden, eine Kon-
vention, die sich dadurch rechtfertigt, dass alsdann die Gleichung
A · 1 = A allgemein gelten wird. Dann gilt für jedes Individuum A
in der Mannigfaltigkeit der zur Betrachtung vorliegenden Algorithmen
auch das Analogon der
Definition (2+): A ⋹ 1.
Und endlich gelten die beiden Sätze, welche in der Theorie die
Definition (3+) der identischen Summe zusammensetzten:
(3+)'. Wenn A ⋹ X und B ⋹ X, so ist auch A + B ⋹ X.
(3+)'' Wenn A + B ⋹ X, so ist auch A ⋹ X und B ⋹ X.
Da nach unsrer Definition der logischen Summe offenbar:
Th. 6+) A ⋹ A + B und B ⋹ A + B
sein muss, so erscheint der letztere Satz (3+)'' nach II als geradezu
selbstverständlich: Wenn A nebst B und allem, was beide noch zur
Folge haben, aus X folgt, so folgt natürlich auch A aus X und
B aus X.
Weniger unmittelbar leuchtet der erstere Satz (3+)' ein.
Wäre X kein Algorithmus, sondern blos ein Formelsystem, aller-
*) Bei der „intensiven“ Deutung würde unsre obige „Summe“ als „Produkt“
zu bezeichnen sein (unser „Produkt“ aber nicht als „Summe“).
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 627. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/647>, abgerufen am 16.02.2025.
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