Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Anhang 4.

Für die im Anhang 5 gegebenen Beispiele wird sich allemal der
Wert c in einer die Funktion a b definirenden Tabelle (Funktionstafel —
in Gestalt eines symbolischen Einmaleinses) aufschlagen lassen.

Nun kann man aber auch, wenn b und c gegeben sind, nach dem
Werte (oder den Werten) von a fragen, die so beschaffen sind, dass a b
gerade gleich dem gegebenen c ist, und ebenso, wenn a und c gegeben
sind, nach dem oder denjenigen Werten von b, für welche a b = c wäre.

Die Operationen, durch welche wir Antwort auf diese beiden Fragen
erlangen, nennen wir die „umgekehrten“ oder „inversen“ Operationen von
der als symbolische Multiplikation bezeichneten „direkten“ Operation. Wir
bezeichnen sie als „symbolische Divisionen“ und zwar bezüglich mittelst
Doppelpunktes als „symbolische Messung“ und mittelst Bruchstrichs als
„symbolische Teilung“; sie bilden die beiden andern von den „drei Grund-
operationen“. Auch sie werden jeweils äusserst leicht an der die Funktion
a b erklärenden Funktionstafel auszuführen sein.

Wir nehmen nun ferner an, dass die Antwort auf die gestellten Fragen
stets (für jedes Wertepaar von a und c, sowie von b und c) und immer
nur auf eine Weise gegeben werden könne, oder wie man sagt, dass die
beiden symbol. Divisionen (gleichwie die Multiplikation) „unbedingt aus-
führbar“ und „nie mehrdeutig“ seien. M. a. W. wir erklären, nur mit
solchen Funktionen a b uns beschäftigen zu wollen, bei welchen solche Ein-
deutigkeit der Umkehrungen zutrifft. Sooft dann a b = a' b sein sollte,
wird auch a = a' sein müssen; ebenso, wenn a b = a b' ist, wird b = b'
folgen.

Dasjenige b, für welches bei gegebnen a, c:
a b = c ist, nennen wir b = c : a
und dasjenige a, für welches bei gegebnen b, c:
a b = c ist, nennen wir a = [Formel 1]
und nach der Voraussetzung wird es immer ein und nur ein solches geben,
sodass das symbolische Verhältniss a : b und der symbolische Bruch [Formel 2]
uns in jedem Falle (für gegebene Operationsglieder desselben) eine ganz
bestimmte Zahl vorstellen werden.

Nach diesen Definitionen sind dann
a b = c, b = c : a und a = [Formel 3]
drei einander äquivalente Aussagen, und substituirt man den Ausdruck,
welchen uns irgend eine dieser Gleichungen für den auf ihrer einen Seite
isolirten Buchstaben als einen neuen diesem eben zukommenden Namen zur
Verfügung stellt, in die beiden andern Gleichungen, so ergeben sich die
sechs Beziehungen:
b = (a b) : a, a = [Formel 4] , a (c : a) = c, a = [Formel 5] , [Formel 6] b = c, b = c : [Formel 7]
welche für die beiden, je in sie eingehenden Buchstaben den Charakter von
allgemein gültigen Formeln haben müssen, da zweie von den drei Buch-