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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
seine Schüler mein Verfahren dem seinigen vorzuziehen pflegten, sondern
auch zum vollen Verständniss der ganzen Disziplin wird dasselbe stets un-
entbehrlich bleiben. Endlich kann man auch die an jeder einzelnen Prä-
missensubsumtion zu vollziehenden Operationen der Auflösung und Elimina-
tion mindestens geradesogut nach jenem Boole'schen Schema ausführen,
als nach der vorstehend illustrirten Peirce'schen Methode, wie eine ver-
gleichende Bearbeitung der typischen 18. Aufg. des § 25 nach den beiden
Manieren zu erkennen gibt. --

Das Verfahren, welches Herr McColl ganz selbständig, indessen
immerhin sehr nachträglich, zur Lösung der Probleme des Boole'schen
Kalkuls ersonnen, ist doch nicht ganz so sehr, wie er selbst glaubt,
von dem modifizirten Boole'schen verschieden -- und muss ich hierin
Herrn Venn1 p. 372 beipflichten (vergl. ebenda). Sofern nur eine
Prämisse in Betracht kommt -- und die Boole'schen Prämissen lassen
sich ja stets in eine einzige zusammenziehen -- möchte ich dasselbe
überhaupt nicht als eine neue Methode, sondern höchstens als eine
eigene "Manier" in der Anwendung der Boole'schen Methode gelten
lassen.

Ein Fortschritt tritt erst da zutage, wo es sich um Elimination
und Auflösung bei Systemen Boole'scher Prämissen handelt und ist
eben darin zu erblicken: dass McColl deren vorgängige Vereinigung zu
einer einzigen Prämissengleichung entbehrlich macht, womit er denn Peirce
vorgearbeitet und eine neue Behandlungsweise der Probleme angeregt,
mitbegründet hat.

Vorwiegend scheinen mir Herrn McColl's Verdienste auf einem andern
Felde zu liegen: auf dem der Anwendungen -- worüber u. a. unser An-
hang 7 zu vergleichen ist.

McColl's Verfahren basirt auf den beiden Gleichungen:
x f (x) = x f (1) und x1 f (x) = x1 f (0),
welche wir schon in § 19 als Anm. 2 zu Th. 44+) angeführt haben,
und die er auch für beliebig viele Argumente zusammenfassend er-
weitert zu dem Satze:
x y z .. u1 v1 .. f (x, y, z .. u, v, ..) = x y z .. u1 v1 .. f (1, 1, 1, .., 0, 0, ..).
Die Gültigkeit auch dieser Gleichung ist unmittelbar ersichtlich aus
der allgemeinen Boole'schen Formel 44+) für die Entwickelung einer
Funktion f (x, y, z, .. u, v, ..) beliebig vieler Argumente nach ebendiesen
-- in Anbetracht, dass bekanntlich f (1, 1, 1 .. 0, 0, ..) der Koeffizient
ist, mit welchem der Konstituent x y z .. u1 v1 .. in jener Entwickelung
behaftet erscheinen wird, und dass die übrigen Glieder derselben Ent-
wickelung, als mit dem angegebnen disjunkte Konstituenten habend,
in diesen multiplizirt verschwinden müssen.

§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
seine Schüler mein Verfahren dem seinigen vorzuziehen pflegten, sondern
auch zum vollen Verständniss der ganzen Disziplin wird dasselbe stets un-
entbehrlich bleiben. Endlich kann man auch die an jeder einzelnen Prä-
missensubsumtion zu vollziehenden Operationen der Auflösung und Elimina-
tion mindestens geradesogut nach jenem Boole'schen Schema ausführen,
als nach der vorstehend illustrirten Peirce'schen Methode, wie eine ver-
gleichende Bearbeitung der typischen 18. Aufg. des § 25 nach den beiden
Manieren zu erkennen gibt. —

Das Verfahren, welches Herr McColl ganz selbständig, indessen
immerhin sehr nachträglich, zur Lösung der Probleme des Boole'schen
Kalkuls ersonnen, ist doch nicht ganz so sehr, wie er selbst glaubt,
von dem modifizirten Boole'schen verschieden — und muss ich hierin
Herrn Venn1 p. 372 beipflichten (vergl. ebenda). Sofern nur eine
Prämisse in Betracht kommt — und die Boole'schen Prämissen lassen
sich ja stets in eine einzige zusammenziehen — möchte ich dasselbe
überhaupt nicht als eine neue Methode, sondern höchstens als eine
eigene „Manier“ in der Anwendung der Boole'schen Methode gelten
lassen.

Ein Fortschritt tritt erst da zutage, wo es sich um Elimination
und Auflösung bei Systemen Boole'scher Prämissen handelt und ist
eben darin zu erblicken: dass McColl deren vorgängige Vereinigung zu
einer einzigen Prämissengleichung entbehrlich macht, womit er denn Peirce
vorgearbeitet und eine neue Behandlungsweise der Probleme angeregt,
mitbegründet hat.

Vorwiegend scheinen mir Herrn McColl's Verdienste auf einem andern
Felde zu liegen: auf dem der Anwendungen — worüber u. a. unser An-
hang 7 zu vergleichen ist.

McColl's Verfahren basirt auf den beiden Gleichungen:
x f (x) = x f (1) und x1 f (x) = x1 f (0),
welche wir schon in § 19 als Anm. 2 zu Th. 44+) angeführt haben,
und die er auch für beliebig viele Argumente zusammenfassend er-
weitert zu dem Satze:
x y z ‥ u1 v1 ‥ f (x, y, z ‥ u, v, ‥) = x y z ‥ u1 v1 ‥ f (1, 1, 1, ‥, 0, 0, ‥).
Die Gültigkeit auch dieser Gleichung ist unmittelbar ersichtlich aus
der allgemeinen Boole'schen Formel 44+) für die Entwickelung einer
Funktion f (x, y, z, ‥ u, v, ‥) beliebig vieler Argumente nach ebendiesen
— in Anbetracht, dass bekanntlich f (1, 1, 1 ‥ 0, 0, ‥) der Koeffizient
ist, mit welchem der Konstituent x y z ‥ u1 v1 ‥ in jener Entwickelung
behaftet erscheinen wird, und dass die übrigen Glieder derselben Ent-
wickelung, als mit dem angegebnen disjunkte Konstituenten habend,
in diesen multiplizirt verschwinden müssen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 589. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/609>, abgerufen am 25.11.2024.