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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Vierzehnte Vorlesung.
Da die Glieder s, s', .. der in
letzte Summanden zerlegten Sub-
jekte ihrerseits monomische Pro-
dukte waren,		Da die Faktoren p, p', .. der
in letzte Faktoren zerlegten Prä-
dikate ihrerseits Summen aus ein-
fachen Symbolen waren,

so werden nach Vollzug unsres dritten Prozesses gerade umgekehrt
wie früher

die Subjekte nur Produktedie Prädikate nur Summen
sein, aber jetzt aus lauter einfachen Symbolen, nämlich den Argumenten
(Variablen, Koeffizienten, Parametern, Eliminanden, Unbekannten, oder
wie man sie nennen mag) und ihren Negationen -- wofern sie nicht
selbst schon einfache Symbole sind.

Vierter Prozess. Dieser soll nunmehr die Elimination eines
Symbols bewerkstelligen. Wir nennen den Eliminanden x. Dann
müssen nach Peirce auf jede mögliche Weise zusammengehalten werden
eine Subsumtion des vorliegenden Systems, welche x im Subjekt oder
aber x1 im Prädikat enthält, mit einer solchen, welche umgekehrt x
im Prädikat oder aber x1 im Subjekt enthält.

Sollte beides zugleich der Fall sein bei einer Prämissensubsumtion,
so fällt der Eliminand schon von selbst heraus, oder man kann das eine
weglassen, den einen Term x resp. x1 unterdrücken -- gleichviel welchen.

Wenn nämlich x und x1 zusammen im Subjekte vorkämen, so wäre
dieses (als das Produkt der einfachen Symbole) kraft Th. 30x) gleich 0,
wenn sie zusammen im Prädikate vorkämen, so wäre letzteres (als die
Summe dieser und vielleicht noch anderer Terme) nach Th. 30+) gleich 1.
Diese Fälle werden gar nicht in Betracht kommen, weil man Subjekte und
Prädikate doch immer nur möglichst "ausgerechnet" ansetzt.

Kommt aber x im Subjekt und zugleich x1 im Prädikate vor, oder
umgekehrt, so kann dies nach bisherigem nur in der Form:
a x b + x1 resp. c x1 d + x
eintreten, und wird gemäss Th. 41) solcher Ansatz zu
a x b oder a b + x1 resp. c x1 d oder c d + x
-- nach Belieben -- sich sofort vereinfachen lassen.

Nach der vorausgehenden Bemerkung wird jene Subsumtion von
der Form sein:
a) a x b oder aber a b + x1
und diese von der Form:
b) c d + x oder aber c x1 d
wobei nach dem Th. 41) des § 17 die nebeneinanderstehenden Sub-
sumtionen ja äquivalent sein müssen.

Vierzehnte Vorlesung.
Da die Glieder s, s', ‥ der in
letzte Summanden zerlegten Sub-
jekte ihrerseits monomische Pro-
dukte waren,		Da die Faktoren p, p', ‥ der
in letzte Faktoren zerlegten Prä-
dikate ihrerseits Summen aus ein-
fachen Symbolen waren,

so werden nach Vollzug unsres dritten Prozesses gerade umgekehrt
wie früher

die Subjekte nur Produktedie Prädikate nur Summen
sein, aber jetzt aus lauter einfachen Symbolen, nämlich den Argumenten
(Variablen, Koeffizienten, Parametern, Eliminanden, Unbekannten, oder
wie man sie nennen mag) und ihren Negationen — wofern sie nicht
selbst schon einfache Symbole sind.

Vierter Prozess. Dieser soll nunmehr die Elimination eines
Symbols bewerkstelligen. Wir nennen den Eliminanden x. Dann
müssen nach Peirce auf jede mögliche Weise zusammengehalten werden
eine Subsumtion des vorliegenden Systems, welche x im Subjekt oder
aber x1 im Prädikat enthält, mit einer solchen, welche umgekehrt x
im Prädikat oder aber x1 im Subjekt enthält.

Sollte beides zugleich der Fall sein bei einer Prämissensubsumtion,
so fällt der Eliminand schon von selbst heraus, oder man kann das eine
weglassen, den einen Term x resp. x1 unterdrücken — gleichviel welchen.

Wenn nämlich x und x1 zusammen im Subjekte vorkämen, so wäre
dieses (als das Produkt der einfachen Symbole) kraft Th. 30×) gleich 0,
wenn sie zusammen im Prädikate vorkämen, so wäre letzteres (als die
Summe dieser und vielleicht noch anderer Terme) nach Th. 30+) gleich 1.
Diese Fälle werden gar nicht in Betracht kommen, weil man Subjekte und
Prädikate doch immer nur möglichst „ausgerechnet“ ansetzt.

Kommt aber x im Subjekt und zugleich x1 im Prädikate vor, oder
umgekehrt, so kann dies nach bisherigem nur in der Form:
a x ⋹ b + x1 resp. c x1 ⋹ d + x
eintreten, und wird gemäss Th. 41) solcher Ansatz zu
a x ⋹ b oder a ⋹ b + x1 resp. c x1 ⋹ d oder c ⋹ d + x
— nach Belieben — sich sofort vereinfachen lassen.

Nach der vorausgehenden Bemerkung wird jene Subsumtion von
der Form sein:
α) a x ⋹ b oder aber a ⋹ b + x1
und diese von der Form:
β) c ⋹ d + x oder aber c x1 ⋹ d
wobei nach dem Th. 41) des § 17 die nebeneinanderstehenden Sub-
sumtionen ja äquivalent sein müssen.

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[576/0596] Vierzehnte Vorlesung. Da die Glieder s, s', ‥ der in letzte Summanden zerlegten Sub- jekte ihrerseits monomische Pro- dukte waren, Da die Faktoren p, p', ‥ der in letzte Faktoren zerlegten Prä- dikate ihrerseits Summen aus ein- fachen Symbolen waren, so werden nach Vollzug unsres dritten Prozesses gerade umgekehrt wie früher die Subjekte nur Produkte die Prädikate nur Summen sein, aber jetzt aus lauter einfachen Symbolen, nämlich den Argumenten (Variablen, Koeffizienten, Parametern, Eliminanden, Unbekannten, oder wie man sie nennen mag) und ihren Negationen — wofern sie nicht selbst schon einfache Symbole sind. Vierter Prozess. Dieser soll nunmehr die Elimination eines Symbols bewerkstelligen. Wir nennen den Eliminanden x. Dann müssen nach Peirce auf jede mögliche Weise zusammengehalten werden eine Subsumtion des vorliegenden Systems, welche x im Subjekt oder aber x1 im Prädikat enthält, mit einer solchen, welche umgekehrt x im Prädikat oder aber x1 im Subjekt enthält. Sollte beides zugleich der Fall sein bei einer Prämissensubsumtion, so fällt der Eliminand schon von selbst heraus, oder man kann das eine weglassen, den einen Term x resp. x1 unterdrücken — gleichviel welchen. Wenn nämlich x und x1 zusammen im Subjekte vorkämen, so wäre dieses (als das Produkt der einfachen Symbole) kraft Th. 30×) gleich 0, wenn sie zusammen im Prädikate vorkämen, so wäre letzteres (als die Summe dieser und vielleicht noch anderer Terme) nach Th. 30+) gleich 1. Diese Fälle werden gar nicht in Betracht kommen, weil man Subjekte und Prädikate doch immer nur möglichst „ausgerechnet“ ansetzt. Kommt aber x im Subjekt und zugleich x1 im Prädikate vor, oder umgekehrt, so kann dies nach bisherigem nur in der Form: a x ⋹ b + x1 resp. c x1 ⋹ d + x eintreten, und wird gemäss Th. 41) solcher Ansatz zu a x ⋹ b oder a ⋹ b + x1 resp. c x1 ⋹ d oder c ⋹ d + x — nach Belieben — sich sofort vereinfachen lassen. Nach der vorausgehenden Bemerkung wird jene Subsumtion von der Form sein: α) a x ⋹ b oder aber a ⋹ b + x1 und diese von der Form: β) c ⋹ d + x oder aber c x1 ⋹ d wobei nach dem Th. 41) des § 17 die nebeneinanderstehenden Sub- sumtionen ja äquivalent sein müssen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 576. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/596>, abgerufen am 23.11.2024.