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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
{(a + c) a1 g1 + a1 c1 (a + g)} x + {(b + c) b1 g1 + b1 c1 (b + g)} x1 = 0,
woraus die Resultante folgt:
(a b + c) a1 b1 g1 + (a b1 a1 b + a1 b a b1) c1 g1 + a1 b1 c1 (a b + g) = 0
und die Auflösung:
x = {(b + c) b1 g1 + b1 c1 (b + g)} + u (a + c + a1 g1) (a1 c1 + a + g)
oder:
(b + c) b1 g1 + b1 c1 (b + g) x (a + c) (a + g) + a1 c1 a1 g1.

20. Aufgabe. Die Gleichung b = x a + y a1 nach x und y auf-
zulösen.

Auflösung. Rechts auf 0 gebracht lautet die Gleichung:
a (b1 x + b x1) + a1 (b1 y + b y1) = 0.
Der erste Term, gleich 0 gesetzt, ist die Resultante der Elimination
von y, ebenso der zweite, gleich 0 gesetzt, die Resultante der Elimi-
nation von x. Da Elimination beider Unbekannten auf die Identität
0 = 0 führt, so braucht zwischen a und b keinerlei Relation zu be-
stehen; vielmehr können diese beiden Gebiete völlig nach Belieben
angenommen werden. Auflösung der ersten Resultante nach x, und
der letztern nach y, gibt endlich:
x = a b + u (a1 + b) = a b + u (a1 + a b) = a b + u a1,
y = a1 b + v (a + b) = a1 b + v (a + a1 b) = a1 b + v a,
für willkürliche u, v. In der That stimmt die Probe:
b = (a b + u a1) a + (a1 b + v a) a1,
und ist damit, wenn man nur noch die Namen a, b durch x, y ersetzt,
die Formel des Th. 42) systematisch aufgefunden.

21. Studie. Soll es mindestens einen Wert von x geben, für
welchen die Gleichung besteht:
a x + b x1 = 0,
so -- haben wir gesehen -- muss a b = 0 sein. Welche Relation aber
die Koeffizienten a, b erfüllen müssen, wenn die Gleichung für jeden
Wert von x Geltung haben soll, ist auch nicht schwer zu sehen.
Dieselbe lautet: a = b = 0,
d. h. die Koeffizienten müssen dann beide schon einzeln gleich 0 sein.
Insbesondre muss nämlich alsdann die Gleichung auch für x = 1, so-
wie für x = 0, gelten, was als notwendig zu erfüllende Bedingung
a = 0 nebst b = 0 liefert, und das genügt auch, um die Gleichung zu
einer allgemein geltenden Formel zu machen.

§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
{(a + c) α1 γ1 + a1 c1 (α + γ)} x + {(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ)} x1 = 0,
woraus die Resultante folgt:
(a b + c) α1 β1 γ1 + (a b1 α1 β + a1 b α β1) c1 γ1 + a1 b1 c1 (α β + γ) = 0
und die Auflösung:
x = {(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ)} + u (a + c + α1 γ1) (a1 c1 + α + γ)
oder:
(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ) ⋹ x ⋹ (a + c) (α + γ) + a1 c1 α1 γ1.

20. Aufgabe. Die Gleichung b = x a + y a1 nach x und y auf-
zulösen.

Auflösung. Rechts auf 0 gebracht lautet die Gleichung:
a (b1 x + b x1) + a1 (b1 y + b y1) = 0.
Der erste Term, gleich 0 gesetzt, ist die Resultante der Elimination
von y, ebenso der zweite, gleich 0 gesetzt, die Resultante der Elimi-
nation von x. Da Elimination beider Unbekannten auf die Identität
0 = 0 führt, so braucht zwischen a und b keinerlei Relation zu be-
stehen; vielmehr können diese beiden Gebiete völlig nach Belieben
angenommen werden. Auflösung der ersten Resultante nach x, und
der letztern nach y, gibt endlich:
x = a b + u (a1 + b) = a b + u (a1 + a b) = a b + u a1,
y = a1 b + v (a + b) = a1 b + v (a + a1 b) = a1 b + v a,
für willkürliche u, v. In der That stimmt die Probe:
b = (a b + u a1) a + (a1 b + v a) a1,
und ist damit, wenn man nur noch die Namen a, b durch x, y ersetzt,
die Formel des Th. 42) systematisch aufgefunden.

21. Studie. Soll es mindestens einen Wert von x geben, für
welchen die Gleichung besteht:
a x + b x1 = 0,
so — haben wir gesehen — muss a b = 0 sein. Welche Relation aber
die Koeffizienten a, b erfüllen müssen, wenn die Gleichung für jeden
Wert von x Geltung haben soll, ist auch nicht schwer zu sehen.
Dieselbe lautet: a = b = 0,
d. h. die Koeffizienten müssen dann beide schon einzeln gleich 0 sein.
Insbesondre muss nämlich alsdann die Gleichung auch für x = 1, so-
wie für x = 0, gelten, was als notwendig zu erfüllende Bedingung
a = 0 nebst b = 0 liefert, und das genügt auch, um die Gleichung zu
einer allgemein geltenden Formel zu machen.

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[543/0563] § 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben. {(a + c) α1 γ1 + a1 c1 (α + γ)} x + {(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ)} x1 = 0, woraus die Resultante folgt: (a b + c) α1 β1 γ1 + (a b1 α1 β + a1 b α β1) c1 γ1 + a1 b1 c1 (α β + γ) = 0 und die Auflösung: x = {(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ)} + u (a + c + α1 γ1) (a1 c1 + α + γ) oder: (b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ) ⋹ x ⋹ (a + c) (α + γ) + a1 c1 α1 γ1. 20. Aufgabe. Die Gleichung b = x a + y a1 nach x und y auf- zulösen. Auflösung. Rechts auf 0 gebracht lautet die Gleichung: a (b1 x + b x1) + a1 (b1 y + b y1) = 0. Der erste Term, gleich 0 gesetzt, ist die Resultante der Elimination von y, ebenso der zweite, gleich 0 gesetzt, die Resultante der Elimi- nation von x. Da Elimination beider Unbekannten auf die Identität 0 = 0 führt, so braucht zwischen a und b keinerlei Relation zu be- stehen; vielmehr können diese beiden Gebiete völlig nach Belieben angenommen werden. Auflösung der ersten Resultante nach x, und der letztern nach y, gibt endlich: x = a b + u (a1 + b) = a b + u (a1 + a b) = a b + u a1, y = a1 b + v (a + b) = a1 b + v (a + a1 b) = a1 b + v a, für willkürliche u, v. In der That stimmt die Probe: b = (a b + u a1) a + (a1 b + v a) a1, und ist damit, wenn man nur noch die Namen a, b durch x, y ersetzt, die Formel des Th. 42) systematisch aufgefunden. 21. Studie. Soll es mindestens einen Wert von x geben, für welchen die Gleichung besteht: a x + b x1 = 0, so — haben wir gesehen — muss a b = 0 sein. Welche Relation aber die Koeffizienten a, b erfüllen müssen, wenn die Gleichung für jeden Wert von x Geltung haben soll, ist auch nicht schwer zu sehen. Dieselbe lautet: a = b = 0, d. h. die Koeffizienten müssen dann beide schon einzeln gleich 0 sein. Insbesondre muss nämlich alsdann die Gleichung auch für x = 1, so- wie für x = 0, gelten, was als notwendig zu erfüllende Bedingung a = 0 nebst b = 0 liefert, und das genügt auch, um die Gleichung zu einer allgemein geltenden Formel zu machen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 543. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/563>, abgerufen am 23.11.2024.