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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dreizehnte Vorlesung.
sich findet, da muss von den Merkmalen a und b das eine ohne das
andere (muss a oder aber b) zugegen sein.

4. Aufgabe. (Jevons9 p. 202.)

In einer Mannigfaltigkeit ist jedes Ding entweder ein b oder ein c,
und jedes c ist ein b, wofern es nicht ein a ist. Zu beweisen, dass
jedes a ein b sein muss.

Beweis. Prämissen sind: 1 b + c und c b + a1. Sie geben
die vereinigte Gleichung:
b1 c1 + a b1 c = 0
aus welcher c zu eliminiren ist. Die Resultante lautet:
a b1 = 0, oder also: a b
wie zu zeigen war.

5. Aufgabe -- aus dem "Moral science tripos" von Cambridge
1879, behandelt von Jevons9 p. 206. Es stehe fest, dass jedes b,
welches nicht d ist, entweder a sowol als c, oder weder a noch c ist;
und ferner, dass kein c und kein d ein a und b zugleich sein kann.*)
Zu beweisen, dass kein a ein b ist.

Beweis. Die Prämissen in Formeln eingekleidet lauten:
b d1 a c + a1 c1, c (a b)1, d (a b)1,
und geben die vereinigte Gleichung:
(a c1 + a1 c) b d1 + a b c + a b d = 0.

Elimination von d aus dieser gibt:
a b c + a b (a c1 + a1 c) = 0, oder a b c + a b c1 = 0,
und hieraus Elimination von c:
a b = 0,
d. h. kein a ist b, wie zu beweisen war.

6. Aufgabe. (McColl3 p. 21.)

Es sollen x und y eliminirt werden aus den Prämissen:
a x1 c + d y, b x c + d y + e, a1 b1 x + c + d e1, a + b + c x + y.

*) In Gestalt von "neither c nor d is both a and b" gibt Jevons (eventuell
schon der Aufgabensteller) diesem letzten Teil der Aufgabe einen inkorrekten
Ausdruck. Es müste heissen: "neither any c nor any d is ...". Denn in der
angegebenen Fassung wäre der Sinn unstreitig der, dass weder alle c, noch alle d,
a und b zugleich sein könnten, und würde das Problem, nach den Methoden des
§ 41 behandelt, nicht die verlangte Konklusion, vielmehr nach Elimination des c
und d nur die Resultante: a1 + b1 0 oder a b 1 liefern, welche blos lehrt,
dass es Dinge gibt, die nicht a und b zugleich sind.

Dreizehnte Vorlesung.
sich findet, da muss von den Merkmalen a und b das eine ohne das
andere (muss a oder aber b) zugegen sein.

4. Aufgabe. (Jevons9 p. 202.)

In einer Mannigfaltigkeit ist jedes Ding entweder ein b oder ein c,
und jedes c ist ein b, wofern es nicht ein a ist. Zu beweisen, dass
jedes a ein b sein muss.

Beweis. Prämissen sind: 1 ⋹ b + c und c ⋹ b + a1. Sie geben
die vereinigte Gleichung:
b1 c1 + a b1 c = 0
aus welcher c zu eliminiren ist. Die Resultante lautet:
a b1 = 0, oder also: a ⋹ b
wie zu zeigen war.

5. Aufgabe — aus dem „Moral science tripos“ von Cambridge
1879, behandelt von Jevons9 p. 206. Es stehe fest, dass jedes b,
welches nicht d ist, entweder a sowol als c, oder weder a noch c ist;
und ferner, dass kein c und kein d ein a und b zugleich sein kann.*)
Zu beweisen, dass kein a ein b ist.

Beweis. Die Prämissen in Formeln eingekleidet lauten:
b d1 ⋹ a c + a1 c1, c ⋹ (a b)1, d ⋹ (a b)1,
und geben die vereinigte Gleichung:
(a c1 + a1 c) b d1 + a b c + a b d = 0.

Elimination von d aus dieser gibt:
a b c + a b (a c1 + a1 c) = 0, oder a b c + a b c1 = 0,
und hieraus Elimination von c:
a b = 0,
d. h. kein a ist b, wie zu beweisen war.

6. Aufgabe. (McColl3 p. 21.)

Es sollen x und y eliminirt werden aus den Prämissen:
a x1 ⋹ c + d y, b x ⋹ c + d y + e, a1 b1 ⋹ x + c + d e1, a + b + c ⋹ x + y.

*) In Gestalt von „neither c nor d is both a and b“ gibt Jevons (eventuell
schon der Aufgabensteller) diesem letzten Teil der Aufgabe einen inkorrekten
Ausdruck. Es müste heissen: „neither any c nor any d is …“. Denn in der
angegebenen Fassung wäre der Sinn unstreitig der, dass weder alle c, noch alle d,
a und b zugleich sein könnten, und würde das Problem, nach den Methoden des
§ 41 behandelt, nicht die verlangte Konklusion, vielmehr nach Elimination des c
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[530/0550] Dreizehnte Vorlesung. sich findet, da muss von den Merkmalen a und b das eine ohne das andere (muss a oder aber b) zugegen sein. 4. Aufgabe. (Jevons9 p. 202.) In einer Mannigfaltigkeit ist jedes Ding entweder ein b oder ein c, und jedes c ist ein b, wofern es nicht ein a ist. Zu beweisen, dass jedes a ein b sein muss. Beweis. Prämissen sind: 1 ⋹ b + c und c ⋹ b + a1. Sie geben die vereinigte Gleichung: b1 c1 + a b1 c = 0 aus welcher c zu eliminiren ist. Die Resultante lautet: a b1 = 0, oder also: a ⋹ b wie zu zeigen war. 5. Aufgabe — aus dem „Moral science tripos“ von Cambridge 1879, behandelt von Jevons9 p. 206. Es stehe fest, dass jedes b, welches nicht d ist, entweder a sowol als c, oder weder a noch c ist; und ferner, dass kein c und kein d ein a und b zugleich sein kann. *) Zu beweisen, dass kein a ein b ist. Beweis. Die Prämissen in Formeln eingekleidet lauten: b d1 ⋹ a c + a1 c1, c ⋹ (a b)1, d ⋹ (a b)1, und geben die vereinigte Gleichung: (a c1 + a1 c) b d1 + a b c + a b d = 0. Elimination von d aus dieser gibt: a b c + a b (a c1 + a1 c) = 0, oder a b c + a b c1 = 0, und hieraus Elimination von c: a b = 0, d. h. kein a ist b, wie zu beweisen war. 6. Aufgabe. (McColl3 p. 21.) Es sollen x und y eliminirt werden aus den Prämissen: a x1 ⋹ c + d y, b x ⋹ c + d y + e, a1 b1 ⋹ x + c + d e1, a + b + c ⋹ x + y. *) In Gestalt von „neither c nor d is both a and b“ gibt Jevons (eventuell schon der Aufgabensteller) diesem letzten Teil der Aufgabe einen inkorrekten Ausdruck. Es müste heissen: „neither any c nor any d is …“. Denn in der angegebenen Fassung wäre der Sinn unstreitig der, dass weder alle c, noch alle d, a und b zugleich sein könnten, und würde das Problem, nach den Methoden des § 41 behandelt, nicht die verlangte Konklusion, vielmehr nach Elimination des c und d nur die Resultante: a1 + b1 ≠ 0 oder a b ≠ 1 liefern, welche blos lehrt, dass es Dinge gibt, die nicht a und b zugleich sind.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 530. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/550>, abgerufen am 16.02.2025.