Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Den Forderungen der Symmetrie ist also durch unsre Lösungen
durchaus Genüge geleistet.

Es ist nunmehr nur noch die Frage zu erledigen, wie etwa die
Parameter ϰ, λ, ω anzunehmen sind, damit unsre Formeln für die Wur-
zeln ein gegebenes Wertepaar x, y darstellen, das übrigens die Glei-
chung F = 0 erfüllt.

Nach dem Hülfstheorem des Paragraphen — vergl. auch § 21, ω)
— ist es zu dem Ende ausreichend μ = x, ν = y selbst zu machen,
desgleichen ω = ϱ selbst zu nehmen, und nach dem in Aufgabe 12
Ermittelten werden die Annahmen ϰ = μ ν nebst λ = μ ν₁ (oder auch
μ + ν₁) zum Ziele führen. Darnach werden wir in Gestalt von:
ϰ = x y, λ = x y₁ (oder auch x + y₁), ω = x y₁ + x₁ y
ein System von Annahmen haben, welches in einfacher Weise unsre
Formeln für x, y zu solchen macht die sich als blosse Umformungen
der Gleichung F = 0 herausstellen, auf Grund von dieser sich iden-
tisch bewahrheiten. Die Rechnung bestätigt dies in der That direkt;
man wird dazu am besten die konzisesten Ausdrücke von x, y nehmen
und auch die aus F = 0 durch Elimination von x oder y sich er-
gebenden beiden Relationen β'), γ') des § 22 dabei berücksichtigen.

Die vorstehend gelösten Aufgaben liefern begreiflicherweise uns
auch ebensoviele Eliminationsprobleme: eliminirt man aus ihren Lösun-
gen, resp. den die Wurzeln darstellenden Gleichungen, sämtliche unab-
hängigen Parameter (also griechischen Symbole), so kann man sich
überzeugen, dass als Resultante hervorgeht die ursprünglich zur Auf-
lösung vorgelegt gewesene Gleichung, und zwar gerade nur diese aber
keine weitergehende Relation zwischen den Unbekannten (und Koef-
fizienten) — was als eine Kontrole für die Richtigkeit unsrer Be-
trachtungen dient.

Dies auch bei Aufgabe 15 durchzuführen, ist leicht, obschon ein
wenig mühsam.

Eliminirt man hier erst ϰ und λ ohne ω, so zeigt sich, dass ω
diesmal kein Luxus-Parameter ist, wie bei den Aufgaben 1 bis 4, wo
es, selbst bei gegebenen x, y, ‥, noch beliebig spezialisirt, gleich 0
oder 1 z. B. genommen werden konnte. Vielmehr muss diesmal ω
eine als Resultante der Elimination von ϰ, λ sich ergebende Relation
erfüllen, welche — mit Rücksicht auf die Endresultante F = 0 — in
der einfachen Gestalt geschrieben werden kann:
(a₁ + d₁) (x y₁ + x₁ y) ω₁ + (b₁ + c₁) (x y + x₁ y₁) ω = 0.

Nur insofern die Werte von x, y als erst durch die Gleichung