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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zwölfte Vorlesung.
x1 = {a (b + d1) k l + a (c1 + d1) k l1 + (d1 + a b) k1 l + (d1 + a c1) k1 l1} o1 +
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+ {(b1 + a c) k l + c (a + b1) k l1 + (b1 + c d1) k1 l + c (b1 + d1) k1 l1} o.

Die Probe, dass, a b c d = 0 vorausgesetzt, identisch:
a x y = 0, b x y1 = 0, c x1 y = 0 und d x1 y1 = 0
wird, stimmt -- was eine Anzahl leichter Rechenexempel liefert, in-
dem man immer nur die gleichstelligen Koeffizienten aus den entsprechen-
den zwei Zeilen zu verknüpfen braucht. Mit Rücksicht auf die Sym-
metrieverhältnisse brauchte übrigens nur eine von diesen vier Glei-
chungen auf ihre Richtigkeit geprüft zu werden, wofern die letztere
diesmal nicht schon aus der Herleitung erhellte.

Auf Grund der Relation a b c d = 0 kann man bemerken, dass die
folgenden unter den obigen Koeffizienten mit den ihnen rechts gleich-
gesetzten äquivalent sind:
a1 + b1 d = a1 + d (b1 + c), d (a1 + c) = d (a1 + b1 c),
b1 + a1 c = b1 + c (a1 + d), c (b1 + d) = c (b1 + a1 d),
a1 + c1 d = a1 + d (b + c1), d (a1 + b) = d (a1 + b c1),
c1 + a1 b = c1 + b (a1 + d), b (c1 + d) = b (c1 + a1 d).
Ersetzte man jene durch diese, desgleichen ihre Negationen wo sie
auftreten durch diejenigen der rechten Seite, so ist es, um alles
vollends in den unabhängigen Parametern ausgedrückt zu erhalten,
nur mehr erforderlich, dass man die lateinischen Buchstaben a, b, c, d
durchweg in die griechischen a, b, g, d verwandle.

Was die Anforderungen der Symmetrie betrifft, so geht die Glei-
chung F = 0 ausschliesslich in sich selbst über durch die folgenden
Vertauschungen ("Transpositionen") links vom Vertikalstrich:

10) (x, y) (x1, y1) (b, c)(l, l1)
20) (x, y1) (x1, y) (a, d)(k, k1)
30) (x, x1) (a, c) (b, d)(k, l1) (l, k1) (o, o1)
40) (y, y1) (a, b) (c, d)(k, l) (k1, l1) (o, o1)
50) (x, x1) (y, y1) (a, d) (b, c)(k, k1) (l, l1)

Dieselben, verbunden mit den rechts vom Vertikalstrich daneben
gesetzten Vertauschungen zwischen den Parametern, führen auch das
System der vier für x, y, x1, y1, angegebenen Lösungen nur in sich
selbst zurück. Da aus denen 10) und 30) die übrigen Vertauschungen
alle ableitbar sind, so braucht dies nur für jene beiden wirklich nach-
gesehen zu werden.

Zwölfte Vorlesung.
x1 = {a (b + d1) ϰ λ + a (c1 + d1) ϰ λ1 + (d1 + a b) ϰ1 λ + (d1 + a c1) ϰ1 λ1} ω1 +
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+ {(b1 + a c) ϰ λ + c (a + b1) ϰ λ1 + (b1 + c d1) ϰ1 λ + c (b1 + d1) ϰ1 λ1} ω.

Die Probe, dass, a b c d = 0 vorausgesetzt, identisch:
a x y = 0, b x y1 = 0, c x1 y = 0 und d x1 y1 = 0
wird, stimmt — was eine Anzahl leichter Rechenexempel liefert, in-
dem man immer nur die gleichstelligen Koeffizienten aus den entsprechen-
den zwei Zeilen zu verknüpfen braucht. Mit Rücksicht auf die Sym-
metrieverhältnisse brauchte übrigens nur eine von diesen vier Glei-
chungen auf ihre Richtigkeit geprüft zu werden, wofern die letztere
diesmal nicht schon aus der Herleitung erhellte.

Auf Grund der Relation a b c d = 0 kann man bemerken, dass die
folgenden unter den obigen Koeffizienten mit den ihnen rechts gleich-
gesetzten äquivalent sind:
a1 + b1 d = a1 + d (b1 + c), d (a1 + c) = d (a1 + b1 c),
b1 + a1 c = b1 + c (a1 + d), c (b1 + d) = c (b1 + a1 d),
a1 + c1 d = a1 + d (b + c1), d (a1 + b) = d (a1 + b c1),
c1 + a1 b = c1 + b (a1 + d), b (c1 + d) = b (c1 + a1 d).
Ersetzte man jene durch diese, desgleichen ihre Negationen wo sie
auftreten durch diejenigen der rechten Seite, so ist es, um alles
vollends in den unabhängigen Parametern ausgedrückt zu erhalten,
nur mehr erforderlich, dass man die lateinischen Buchstaben a, b, c, d
durchweg in die griechischen α, β, γ, δ verwandle.

Was die Anforderungen der Symmetrie betrifft, so geht die Glei-
chung F = 0 ausschliesslich in sich selbst über durch die folgenden
Vertauschungen („Transpositionen“) links vom Vertikalstrich:

10) (x, y) (x1, y1) (b, c)(λ, λ1)
20) (x, y1) (x1, y) (a, d)(ϰ, ϰ1)
30) (x, x1) (a, c) (b, d)(ϰ, λ1) (λ, ϰ1) (ω, ω1)
40) (y, y1) (a, b) (c, d)(ϰ, λ) (ϰ1, λ1) (ω, ω1)
50) (x, x1) (y, y1) (a, d) (b, c)(ϰ, ϰ1) (λ, λ1)

Dieselben, verbunden mit den rechts vom Vertikalstrich daneben
gesetzten Vertauschungen zwischen den Parametern, führen auch das
System der vier für x, y, x1, y1, angegebenen Lösungen nur in sich
selbst zurück. Da aus denen 10) und 30) die übrigen Vertauschungen
alle ableitbar sind, so braucht dies nur für jene beiden wirklich nach-
gesehen zu werden.

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[518/0538] Zwölfte Vorlesung. x1 = {a (b + d1) ϰ λ + a (c1 + d1) ϰ λ1 + (d1 + a b) ϰ1 λ + (d1 + a c1) ϰ1 λ1} ω1 + + {b (a + c1) ϰ λ + (c1 + a b) ϰ λ1 + b (c1 + d1) ϰ1 λ + (c1 + b d1) ϰ1 λ1} ω, y1 = {a (b1 + d1) ϰ λ + a (c + d1) ϰ λ1 + (d1 + a b1) ϰ1 λ + (d1 + a c) ϰ1 λ1} ω1 + + {(b1 + a c) ϰ λ + c (a + b1) ϰ λ1 + (b1 + c d1) ϰ1 λ + c (b1 + d1) ϰ1 λ1} ω. Die Probe, dass, a b c d = 0 vorausgesetzt, identisch: a x y = 0, b x y1 = 0, c x1 y = 0 und d x1 y1 = 0 wird, stimmt — was eine Anzahl leichter Rechenexempel liefert, in- dem man immer nur die gleichstelligen Koeffizienten aus den entsprechen- den zwei Zeilen zu verknüpfen braucht. Mit Rücksicht auf die Sym- metrieverhältnisse brauchte übrigens nur eine von diesen vier Glei- chungen auf ihre Richtigkeit geprüft zu werden, wofern die letztere diesmal nicht schon aus der Herleitung erhellte. Auf Grund der Relation a b c d = 0 kann man bemerken, dass die folgenden unter den obigen Koeffizienten mit den ihnen rechts gleich- gesetzten äquivalent sind: a1 + b1 d = a1 + d (b1 + c), d (a1 + c) = d (a1 + b1 c), b1 + a1 c = b1 + c (a1 + d), c (b1 + d) = c (b1 + a1 d), a1 + c1 d = a1 + d (b + c1), d (a1 + b) = d (a1 + b c1), c1 + a1 b = c1 + b (a1 + d), b (c1 + d) = b (c1 + a1 d). Ersetzte man jene durch diese, desgleichen ihre Negationen wo sie auftreten durch diejenigen der rechten Seite, so ist es, um alles vollends in den unabhängigen Parametern ausgedrückt zu erhalten, nur mehr erforderlich, dass man die lateinischen Buchstaben a, b, c, d durchweg in die griechischen α, β, γ, δ verwandle. Was die Anforderungen der Symmetrie betrifft, so geht die Glei- chung F = 0 ausschliesslich in sich selbst über durch die folgenden Vertauschungen („Transpositionen“) links vom Vertikalstrich: 10) (x, y) (x1, y1) (b, c) (λ, λ1) 20) (x, y1) (x1, y) (a, d) (ϰ, ϰ1) 30) (x, x1) (a, c) (b, d) (ϰ, λ1) (λ, ϰ1) (ω, ω1) 40) (y, y1) (a, b) (c, d) (ϰ, λ) (ϰ1, λ1) (ω, ω1) 50) (x, x1) (y, y1) (a, d) (b, c) (ϰ, ϰ1) (λ, λ1) Dieselben, verbunden mit den rechts vom Vertikalstrich daneben gesetzten Vertauschungen zwischen den Parametern, führen auch das System der vier für x, y, x1, y1, angegebenen Lösungen nur in sich selbst zurück. Da aus denen 10) und 30) die übrigen Vertauschungen alle ableitbar sind, so braucht dies nur für jene beiden wirklich nach- gesehen zu werden.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 518. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/538>, abgerufen am 22.07.2024.