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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zwölfte Vorlesung.
a = a (b1 + g1 + d1),a1 = a1 + b g d,
b = b (a1 + g1 + d1)etc.
c = g (a1 + b1 + d1)
d = d (a1 + b1 + g1).

Obwol wir uns unter den Koeffizienten fortan diese Ausdrücke
vorzustellen haben werden, ziehen wir den Einfachheit wegen vor, doch
die alten Namen a, b, c, d für dieselben beizubehalten.

Schon in § 22 unter b) und g) haben wir die Gleichung F = 0
nach x resp. nach y geordnet angeschrieben und aus dem Anblick
dieser Darstellungen fliessen -- nach dem vollen Schema unsrer
Methode -- die Gleichungen:
x = x (a1 y + b1 y1) + x1 (c y + d y1),
y = (a1 x + c1 x1)y + (b x + d x1) y1,
deren jede mit der aufzulösenden F = 0 äquivalent sein wird.

Systematisch zuwerke gehend ersetzen wir rechts in ihnen die
Namen x, y der Unbekannten durch unbestimmte Parameter m, n.
Ordnen wir auch sogleich nach diesen, so ergeben sich die Ausdrücke,
neben welche wir diejenigen für ihre Negationen schreiben:
x = a1 m n + b1 m n1 + c m1 n + d m1 n1, x1 = a m n + b m n1 + c1 m1 n + d1 m1 n1,
y = a1 m n + b m n1 + c1 m1 n + d m1 n1, y1 = a m n + b1 m n1 + c m1 n + d1 m1 n1.

Hiermit sind nun leicht die vier Produkte zu bilden:
x y = a1 m n + d m1 n1, x y1 = b1 m n1 + c m1 n,
x1 y = b m n1 + c1 m1 n, x1 y1 = a m n + d1 m1 n1,
deren Einsetzung in F = 0 uns die Bedingung liefert:
a d (m n + m1 n1) + b c (m n1 + m1 n) = 0,
welche einzig noch von m, n zu erfüllen ist.

Der Versuch, die Gleichung so, wie die obige, systematisch nach
den Unbekannten m, n aufzulösen, führt im Zirkel herum -- wie auch
schon a priori zu sehen ist, in Anbetracht, dass die Gleichung unge-
ändert bleibt, wenn man in ihr (dem Vorbild entsprechend, das sie
mit F = 0 zusammengehalten darbietet) das a sowol als das d durch
a d, zugleich das b und das c durch b c ersetzt.

Indessen kommt man hier unschwer zum Ziele durch die Bemer-
kung, dass wenn
m n1 + m1 n = r genannt wird, sich m n + m1 n1 = r1
dazu ergibt, wonach die zu erfüllende Gleichung lautet:
a d r1 + b c r = 0.

Zwölfte Vorlesung.
a = α (β1 + γ1 + δ1),a1 = α1 + β γ δ,
b = β (α1 + γ1 + δ1)etc.
c = γ (α1 + β1 + δ1)
d = δ (α1 + β1 + γ1).

Obwol wir uns unter den Koeffizienten fortan diese Ausdrücke
vorzustellen haben werden, ziehen wir den Einfachheit wegen vor, doch
die alten Namen a, b, c, d für dieselben beizubehalten.

Schon in § 22 unter β) und γ) haben wir die Gleichung F = 0
nach x resp. nach y geordnet angeschrieben und aus dem Anblick
dieser Darstellungen fliessen — nach dem vollen Schema unsrer
Methode — die Gleichungen:
x = x (a1 y + b1 y1) + x1 (c y + d y1),
y = (a1 x + c1 x1)y + (b x + d x1) y1,
deren jede mit der aufzulösenden F = 0 äquivalent sein wird.

Systematisch zuwerke gehend ersetzen wir rechts in ihnen die
Namen x, y der Unbekannten durch unbestimmte Parameter μ, ν.
Ordnen wir auch sogleich nach diesen, so ergeben sich die Ausdrücke,
neben welche wir diejenigen für ihre Negationen schreiben:
x = a1 μ ν + b1 μ ν1 + c μ1 ν + d μ1 ν1, x1 = a μ ν + b μ ν1 + c1 μ1 ν + d1 μ1 ν1,
y = a1 μ ν + b μ ν1 + c1 μ1 ν + d μ1 ν1, y1 = a μ ν + b1 μ ν1 + c μ1 ν + d1 μ1 ν1.

Hiermit sind nun leicht die vier Produkte zu bilden:
x y = a1 μ ν + d μ1 ν1, x y1 = b1 μ ν1 + c μ1 ν,
x1 y = b μ ν1 + c1 μ1 ν, x1 y1 = a μ ν + d1 μ1 ν1,
deren Einsetzung in F = 0 uns die Bedingung liefert:
a d (μ ν + μ1 ν1) + b c (μ ν1 + μ1 ν) = 0,
welche einzig noch von μ, ν zu erfüllen ist.

Der Versuch, die Gleichung so, wie die obige, systematisch nach
den Unbekannten μ, ν aufzulösen, führt im Zirkel herum — wie auch
schon a priori zu sehen ist, in Anbetracht, dass die Gleichung unge-
ändert bleibt, wenn man in ihr (dem Vorbild entsprechend, das sie
mit F = 0 zusammengehalten darbietet) das a sowol als das d durch
a d, zugleich das b und das c durch b c ersetzt.

Indessen kommt man hier unschwer zum Ziele durch die Bemer-
kung, dass wenn
μ ν1 + μ1 ν = ϱ genannt wird, sich μ ν + μ1 ν1 = ϱ1
dazu ergibt, wonach die zu erfüllende Gleichung lautet:
a d ϱ1 + b c ϱ = 0.

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[516/0536] Zwölfte Vorlesung. a = α (β1 + γ1 + δ1), a1 = α1 + β γ δ, b = β (α1 + γ1 + δ1) etc. c = γ (α1 + β1 + δ1) d = δ (α1 + β1 + γ1). Obwol wir uns unter den Koeffizienten fortan diese Ausdrücke vorzustellen haben werden, ziehen wir den Einfachheit wegen vor, doch die alten Namen a, b, c, d für dieselben beizubehalten. Schon in § 22 unter β) und γ) haben wir die Gleichung F = 0 nach x resp. nach y geordnet angeschrieben und aus dem Anblick dieser Darstellungen fliessen — nach dem vollen Schema unsrer Methode — die Gleichungen: x = x (a1 y + b1 y1) + x1 (c y + d y1), y = (a1 x + c1 x1)y + (b x + d x1) y1, deren jede mit der aufzulösenden F = 0 äquivalent sein wird. Systematisch zuwerke gehend ersetzen wir rechts in ihnen die Namen x, y der Unbekannten durch unbestimmte Parameter μ, ν. Ordnen wir auch sogleich nach diesen, so ergeben sich die Ausdrücke, neben welche wir diejenigen für ihre Negationen schreiben: x = a1 μ ν + b1 μ ν1 + c μ1 ν + d μ1 ν1, x1 = a μ ν + b μ ν1 + c1 μ1 ν + d1 μ1 ν1, y = a1 μ ν + b μ ν1 + c1 μ1 ν + d μ1 ν1, y1 = a μ ν + b1 μ ν1 + c μ1 ν + d1 μ1 ν1. Hiermit sind nun leicht die vier Produkte zu bilden: x y = a1 μ ν + d μ1 ν1, x y1 = b1 μ ν1 + c μ1 ν, x1 y = b μ ν1 + c1 μ1 ν, x1 y1 = a μ ν + d1 μ1 ν1, deren Einsetzung in F = 0 uns die Bedingung liefert: a d (μ ν + μ1 ν1) + b c (μ ν1 + μ1 ν) = 0, welche einzig noch von μ, ν zu erfüllen ist. Der Versuch, die Gleichung so, wie die obige, systematisch nach den Unbekannten μ, ν aufzulösen, führt im Zirkel herum — wie auch schon a priori zu sehen ist, in Anbetracht, dass die Gleichung unge- ändert bleibt, wenn man in ihr (dem Vorbild entsprechend, das sie mit F = 0 zusammengehalten darbietet) das a sowol als das d durch a d, zugleich das b und das c durch b c ersetzt. Indessen kommt man hier unschwer zum Ziele durch die Bemer- kung, dass wenn μ ν1 + μ1 ν = ϱ genannt wird, sich μ ν + μ1 ν1 = ϱ1 dazu ergibt, wonach die zu erfüllende Gleichung lautet: a d ϱ1 + b c ϱ = 0.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 516. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/536>, abgerufen am 16.02.2025.