Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

gelegte Gleichung erfüllende Wertepaar x, y darzustellen im stande
sein, q. e. d. —

Selbstredend können solche Parameterwerte, welche dieses leisten, wie
soeben die für α und β angegebenen, auch systematisch aufgefunden wer-
den, indem man unsre die Wurzeln darstellenden Gleichungen mit der
ursprünglichen Gleichung des Problems „vereinigt“ und nach den Unbe-
kannten α, β auflöst. Es genügt dann aber für diese nur irgend ein System
von Partikularlösungen zu entdecken, wobei man denjenigen vom einfach-
sten Ausdrucke den Vorzug geben wird.

Zur Übung für den Studirenden führen wir noch folgende beiden Auf-
gaben mit ihren Lösungen ohne weitere Bemerkung an.

Aufgabe 13. Die Gleichung:
x y = a
nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung: x = a + α β₁, y = a + α₁ β.

Aufgabe 14. Das Gleichungenpaar:
x y = a, x₁ y₁ = b
symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung. Es müssen a und b die Voraussetzung:
a b = 0
erfüllen, womit sich: a = α β₁, b = α₁ β ergibt. Alsdann sind:
x = a + γ b₁, x₁ = b + γ₁ a₁
y = a + γ₁ b₁, y₁ = b + γ a₁
die gesuchten Lösungen. Um gegebene x, y zu erhalten, braucht man blos
γ = x y₁ oder auch γ = x + y₁ (oder irgendwie dazwischen) zu nehmen.

Wir gehen nunmehr zu einer letzten und Hauptaufgabe über.

Aufgabe 15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten x, y:
a x y + b x y₁ + c x₁ y + d x₁ y₁ = 0
— kürzer: F = 0 — soll nach diesen symmetrisch allgemein gelöst werden.

Auflösung. Durch Elimination von x, y resultirt zwischen den
Koeffizienten der Gleichung die Relation:
a b c d = 0
und diese ist zunächst identisch zu erfüllen, indem man gemäss Auf-
gabe 3 für jene Koeffizienten in unabhängigen Parametern die Aus-
drücke nimmt:

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