Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zwölfte Vorlesung.

x₁ + y₁ = 0, x₁ + y = 0, x + y₁ = 0, x + y = 0,
welche nur je durch das Verschwinden der beiden Glieder befriedigt wer-
den können, womit sich aber x und y gleich 1 oder 0 völlig bestimmen.

Alle vier Terme zugleich können nicht verschwinden, weil der Ansatz
nach Th. 34₊) auf die absurde Gleichung 1 = 0 führen würde.

Als einzige weitere Ausbeute der vorstehenden Blumenlese notiren
wir also diese beiden Probleme: die Gleichung
x y + x₁ y₁ = 0 resp. x y₁ + x₁ y = 0
je symmetrisch allgemein zu lösen.

Dieselben sind dadurch interessant, dass sie die einfachsten Exempel
zu dem oben erwähnten „Zirkel“ liefern.

Behandeln wir zunächst das erste derselben. Die Gleichung zer-
fällt in die beiden Forderungen x y = 0 und x₁ y₁ = 0. Der ersten
von diesen wird nach Aufgabe 1 durch den Ansatz: x = α β₁, y = α₁ β
auf die allgemeinste Weise symmetrisch genügt, und müssen die Para-
meter α und β nur mehr noch so bestimmt werden, dass sie auch die
zweite Forderung x₁ y₁ = 0 erfüllen. Es wird aber
x₁ y₁ = (α₁ + β) (α + β₁) = α₁ β₁ + α β
und sonach erhalten wir in Gestalt von α β + α₁ β₁ = 0 für diese unbe-
kannten Parameter eine Gleichung von genau derselben Form, als die
ursprüngliche gleichung in Hinsicht von x und y gewesen.

Das gleiche stellt sich heraus, wenn wir streng systematisch ver-
fahren, die Gleichung nämlich gemäss dem Hülfstheorem des § 24
nach x und y auflösen, wodurch sich x = y₁, y = x₁ ergibt, alsdann
die Symbole x, y rechterhand durch arbiträre Parameter α, β ersetzen
und mit den gewonnenen Darstellungen x = β₁, y = α₁ die Probe der
Auflösung machen: es zeigt sich, dass diese Parameter nicht unab-
hängig von einander sind, sondern die Relation: α₁β₁ + α β = 0 be-
friedigen müssen, welche wiederum von der alten Form ist. Auf die-
selbe Weise (behufs Ermittelung von α, β) fortfahrend müssten wir
nun immerfort auf die gleiche Aufgabe behufs ihrer eignen Lösung
zurückverwiesen werden.

Aus dem Zirkel tritt man aber hier leicht heraus vermittelst der
Bemerkung, dass die Relation zwischen den Parametern auch mit
α = β₁ oder β = α₁ äquivalent ist. Es genügt also in den obigen
Darstellungen β₁ durch α zu ersetzen, und erhalten wir:
x = α, y = α₁
als die gesuchten symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Die Symmetrie gibt hier sich darin kund, dass die beiden Lösungen