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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Aufgabe 1. Es soll die Gleichung
x y = 0
"symmetrisch allgemein" nach den Unbekannten x und y aufgelöst werden.

Die Auflösung wird dargestellt durch die Gleichungen:
x = a b1 o1 + a1 b o, y = a1 b o1 + a b1 o,
worin, wie vorbemerkt, a, b und o ganz beliebige Gebiete bedeuten.

Aufgabe 2. Ebenso nach x, y, z die Gleichung
x y z = 0
symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung:
x = a (b1 + g1) o1 + a1 (b + g) o,
y = b (g1 + a1) o1 + b1 (g + a) o,
z = g (a1 + b1) o1 + g1 (a + b) o.

Aufgabe 3. Desgleichen nach x, y, z, w aufzulösen die Gleichung:
x y z w = 0.

Auflösung:
x = a (b1 + g1 + d1) o1 + a1 (b + g + d) o,
y = b (a1 + g1 + d1) o1 + b1 (a + g + d) o,
z = g (a1 + b1 + d1) o1 + g1 (a + b + d) o,
w = d (a1 + b1 + g1) o1 + d1 (a + b + g) o.
Und so weiter: das Bildungsgesetz für beliebig viele Faktoren des
zum Verschwinden zu bringenden Produktes ist ersichtlich.

Beweis. Erstens stimmt bei ganz unbestimmt gelassenen will-
kürlichen Gebieten o, a, b, g, d, ... für die angegebenen Wurzelwerte
die Probe der Auflösung -- wie dies leicht nachzurechnen ist.

Die Auflösungen sind also jedenfalls richtige.

Zweitens sind sie aber auch die allgemeinsten, wie ich für Auf-
gabe 3 näher nachweisen will (ganz analog ist es auch für die vor-
hergehenden beiden Aufgaben zu leisten, etc.).

Ist x, y, z, w irgend ein Wertsystem oder System von gegebenen
Gebieten, welche die Anforderung x y z w = 0 erfüllen, so kann man
immer unsre Parameter o, a, b, g, d so bestimmen, dass unsre Aus-
drücke für die Wurzeln gerade dieses Wertsystem liefern. In der That
genügt es, zu diesem Zwecke etwa:
o = 0 und a = x, b = y, g = z, d = w
selbst zu denken.

32*

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Aufgabe 1. Es soll die Gleichung
x y = 0
„symmetrisch allgemein“ nach den Unbekannten x und y aufgelöst werden.

Die Auflösung wird dargestellt durch die Gleichungen:
x = α β1 ω1 + α1 β ω, y = α1 β ω1 + α β1 ω,
worin, wie vorbemerkt, α, β und ω ganz beliebige Gebiete bedeuten.

Aufgabe 2. Ebenso nach x, y, z die Gleichung
x y z = 0
symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung:
x = α (β1 + γ1) ω1 + α1 (β + γ) ω,
y = β (γ1 + α1) ω1 + β1 (γ + α) ω,
z = γ (α1 + β1) ω1 + γ1 (α + β) ω.

Aufgabe 3. Desgleichen nach x, y, z, w aufzulösen die Gleichung:
x y z w = 0.

Auflösung:
x = α (β1 + γ1 + δ1) ω1 + α1 (β + γ + δ) ω,
y = β (α1 + γ1 + δ1) ω1 + β1 (α + γ + δ) ω,
z = γ (α1 + β1 + δ1) ω1 + γ1 (α + β + δ) ω,
w = δ (α1 + β1 + γ1) ω1 + δ1 (α + β + γ) ω.
Und so weiter: das Bildungsgesetz für beliebig viele Faktoren des
zum Verschwinden zu bringenden Produktes ist ersichtlich.

Beweis. Erstens stimmt bei ganz unbestimmt gelassenen will-
kürlichen Gebieten ω, α, β, γ, δ, … für die angegebenen Wurzelwerte
die Probe der Auflösung — wie dies leicht nachzurechnen ist.

Die Auflösungen sind also jedenfalls richtige.

Zweitens sind sie aber auch die allgemeinsten, wie ich für Auf-
gabe 3 näher nachweisen will (ganz analog ist es auch für die vor-
hergehenden beiden Aufgaben zu leisten, etc.).

Ist x, y, z, w irgend ein Wertsystem oder System von gegebenen
Gebieten, welche die Anforderung x y z w = 0 erfüllen, so kann man
immer unsre Parameter ω, α, β, γ, δ so bestimmen, dass unsre Aus-
drücke für die Wurzeln gerade dieses Wertsystem liefern. In der That
genügt es, zu diesem Zwecke etwa:
ω = 0 und α = x, β = y, γ = z, δ = w
selbst zu denken.

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[499/0519] § 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen. Aufgabe 1. Es soll die Gleichung x y = 0 „symmetrisch allgemein“ nach den Unbekannten x und y aufgelöst werden. Die Auflösung wird dargestellt durch die Gleichungen: x = α β1 ω1 + α1 β ω, y = α1 β ω1 + α β1 ω, worin, wie vorbemerkt, α, β und ω ganz beliebige Gebiete bedeuten. Aufgabe 2. Ebenso nach x, y, z die Gleichung x y z = 0 symmetrisch allgemein zu lösen. Auflösung: x = α (β1 + γ1) ω1 + α1 (β + γ) ω, y = β (γ1 + α1) ω1 + β1 (γ + α) ω, z = γ (α1 + β1) ω1 + γ1 (α + β) ω. Aufgabe 3. Desgleichen nach x, y, z, w aufzulösen die Gleichung: x y z w = 0. Auflösung: x = α (β1 + γ1 + δ1) ω1 + α1 (β + γ + δ) ω, y = β (α1 + γ1 + δ1) ω1 + β1 (α + γ + δ) ω, z = γ (α1 + β1 + δ1) ω1 + γ1 (α + β + δ) ω, w = δ (α1 + β1 + γ1) ω1 + δ1 (α + β + γ) ω. Und so weiter: das Bildungsgesetz für beliebig viele Faktoren des zum Verschwinden zu bringenden Produktes ist ersichtlich. Beweis. Erstens stimmt bei ganz unbestimmt gelassenen will- kürlichen Gebieten ω, α, β, γ, δ, … für die angegebenen Wurzelwerte die Probe der Auflösung — wie dies leicht nachzurechnen ist. Die Auflösungen sind also jedenfalls richtige. Zweitens sind sie aber auch die allgemeinsten, wie ich für Auf- gabe 3 näher nachweisen will (ganz analog ist es auch für die vor- hergehenden beiden Aufgaben zu leisten, etc.). Ist x, y, z, w irgend ein Wertsystem oder System von gegebenen Gebieten, welche die Anforderung x y z w = 0 erfüllen, so kann man immer unsre Parameter ω, α, β, γ, δ so bestimmen, dass unsre Aus- drücke für die Wurzeln gerade dieses Wertsystem liefern. In der That genügt es, zu diesem Zwecke etwa: ω = 0 und α = x, β = y, γ = z, δ = w selbst zu denken. 32*

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 499. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/519>, abgerufen am 16.02.2025.

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