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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 23. Die inversen Operationen.

Es würde zu weit führen, wenn wir für alle Kombinationen der vor-
stehend unter v) einander gleichgesetzten Ausdrücke dies hier im einzelnen
rechtfertigend durchführen wollten. Jede von den einschlägigen Unter-
suchungen nebst ihrer geometrischen Deutung kann als eine interessante
oder wenigstens zuträgliche Übung, geistige Gymnastik für den Anfänger
empfohlen werden.

Von den nicht unmodifizirt geltenden Sätzen sei deshalb nur weniges
speziell hervorgehoben.

Zu v1) haben wir insbesondere:
ph) (a + b) -- b = a -- a b oder a -- b
das ist a b1. Korrektionsglied ist mithin -- a b oder -- b. Es wäre nicht
erlaubt, den Ausdruck, wie in der Arithmetik, auf a zu reduziren. Z. B.
Die Begüterten und die Adeligen, ohne die Begüterten, sind nicht
etwa schlechtweg die Adeligen, sondern nur die unbegüterten Adeligen
(R. Grassmann).

Zu v2) gilt beispielsweise:
kh) a + (b -- c) = {(a + b) -- c} + a c;
Korrektionsglied mithin: + a c. Die Reihenfolge, in welcher Additionen
und Subtraktionen vollzogen werden, ist also im identischen Kalkul nicht
gleichgültig.

Die Sätze v3) dagegen gelten auch im identischen Kalkul ganz un-
verändert.

Zu v4) haben wir exempli gratia:
ps) (a + c) -- (b + c) = (a -- b)(1 -- c),
das Korrektionsglied ist also -- (a -- b) c. Hieraus ersieht man, dass ein
übereinstimmender Bestandteil (Summand, c) von Minuend und Subtrahend
einer Differenz jedenfalls dann unterdrückt, die Differenz also immer dann
mit ihm "gekürzt" werden darf, wenn derselbe gegen die andern Bestand-
teile disjunkt, wenn nämlich c a = 0 und c b = 0 ist: beim Subtrahiren
reduzirter Summen von einander sind übereinstimmende Terme unbedenklich
zu streichen.

Statt nach den Gesetzen der eindeutigen kann man auch nach
denen der volldeutigen Subtraktion fragen.

Man findet, dass die Regel der Arithmetik für das distributive Aus-
multipliziren einer Differenz (sowie umgekehrt für das Ausscheiden eines
gemeinsamen Faktors im Minuend und Subtrahend einer solchen):
o1) a (b ÷ c) = a b ÷ a c
auch hier Geltung hat, indem nach dem Schema e) sich übereinstimmend
a b (c1 + u) als Wert der beiden Seiten ergibt unter der schon bei t) er-
wähnten Valenzbedingung b1 c = 0, die man als eine selbstverständliche
auch unerwähnt lassen könnte auf Grund des Axioms, dass ein Satz nur
Geltung beanspruchen kann für diejenigen Fälle, für welche Dasjenige,
worüber er aussagt, einen Sinn besitzt.

Ferner ergeben sich die Werte der nachstehend untereinandergestellten

§ 23. Die inversen Operationen.

Es würde zu weit führen, wenn wir für alle Kombinationen der vor-
stehend unter v) einander gleichgesetzten Ausdrücke dies hier im einzelnen
rechtfertigend durchführen wollten. Jede von den einschlägigen Unter-
suchungen nebst ihrer geometrischen Deutung kann als eine interessante
oder wenigstens zuträgliche Übung, geistige Gymnastik für den Anfänger
empfohlen werden.

Von den nicht unmodifizirt geltenden Sätzen sei deshalb nur weniges
speziell hervorgehoben.

Zu v1) haben wir insbesondere:
φ) (a + b) — b = a — a b oder a — b
das ist a b1. Korrektionsglied ist mithin — a b oder — b. Es wäre nicht
erlaubt, den Ausdruck, wie in der Arithmetik, auf a zu reduziren. Z. B.
Die Begüterten und die Adeligen, ohne die Begüterten, sind nicht
etwa schlechtweg die Adeligen, sondern nur die unbegüterten Adeligen
(R. Grassmann).

Zu v2) gilt beispielsweise:
χ) a + (b — c) = {(a + b) — c} + a c;
Korrektionsglied mithin: + a c. Die Reihenfolge, in welcher Additionen
und Subtraktionen vollzogen werden, ist also im identischen Kalkul nicht
gleichgültig.

Die Sätze v3) dagegen gelten auch im identischen Kalkul ganz un-
verändert.

Zu v4) haben wir exempli gratia:
ψ) (a + c) — (b + c) = (a — b)(1 — c),
das Korrektionsglied ist also — (a — b) c. Hieraus ersieht man, dass ein
übereinstimmender Bestandteil (Summand, c) von Minuend und Subtrahend
einer Differenz jedenfalls dann unterdrückt, die Differenz also immer dann
mit ihm „gekürzt“ werden darf, wenn derselbe gegen die andern Bestand-
teile disjunkt, wenn nämlich c a = 0 und c b = 0 ist: beim Subtrahiren
reduzirter Summen von einander sind übereinstimmende Terme unbedenklich
zu streichen.

Statt nach den Gesetzen der eindeutigen kann man auch nach
denen der volldeutigen Subtraktion fragen.

Man findet, dass die Regel der Arithmetik für das distributive Aus-
multipliziren einer Differenz (sowie umgekehrt für das Ausscheiden eines
gemeinsamen Faktors im Minuend und Subtrahend einer solchen):
ω1) a (b ÷ c) = a b ÷ a c
auch hier Geltung hat, indem nach dem Schema η) sich übereinstimmend
a b (c1 + u) als Wert der beiden Seiten ergibt unter der schon bei τ) er-
wähnten Valenzbedingung b1 c = 0, die man als eine selbstverständliche
auch unerwähnt lassen könnte auf Grund des Axioms, dass ein Satz nur
Geltung beanspruchen kann für diejenigen Fälle, für welche Dasjenige,
worüber er aussagt, einen Sinn besitzt.

Ferner ergeben sich die Werte der nachstehend untereinandergestellten

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[493/0513] § 23. Die inversen Operationen. Es würde zu weit führen, wenn wir für alle Kombinationen der vor- stehend unter v) einander gleichgesetzten Ausdrücke dies hier im einzelnen rechtfertigend durchführen wollten. Jede von den einschlägigen Unter- suchungen nebst ihrer geometrischen Deutung kann als eine interessante oder wenigstens zuträgliche Übung, geistige Gymnastik für den Anfänger empfohlen werden. Von den nicht unmodifizirt geltenden Sätzen sei deshalb nur weniges speziell hervorgehoben. Zu v1) haben wir insbesondere: φ) (a + b) — b = a — a b oder a — b das ist a b1. Korrektionsglied ist mithin — a b oder — b. Es wäre nicht erlaubt, den Ausdruck, wie in der Arithmetik, auf a zu reduziren. Z. B. Die Begüterten und die Adeligen, ohne die Begüterten, sind nicht etwa schlechtweg die Adeligen, sondern nur die unbegüterten Adeligen (R. Grassmann). Zu v2) gilt beispielsweise: χ) a + (b — c) = {(a + b) — c} + a c; Korrektionsglied mithin: + a c. Die Reihenfolge, in welcher Additionen und Subtraktionen vollzogen werden, ist also im identischen Kalkul nicht gleichgültig. Die Sätze v3) dagegen gelten auch im identischen Kalkul ganz un- verändert. Zu v4) haben wir exempli gratia: ψ) (a + c) — (b + c) = (a — b)(1 — c), das Korrektionsglied ist also — (a — b) c. Hieraus ersieht man, dass ein übereinstimmender Bestandteil (Summand, c) von Minuend und Subtrahend einer Differenz jedenfalls dann unterdrückt, die Differenz also immer dann mit ihm „gekürzt“ werden darf, wenn derselbe gegen die andern Bestand- teile disjunkt, wenn nämlich c a = 0 und c b = 0 ist: beim Subtrahiren reduzirter Summen von einander sind übereinstimmende Terme unbedenklich zu streichen. Statt nach den Gesetzen der eindeutigen kann man auch nach denen der volldeutigen Subtraktion fragen. Man findet, dass die Regel der Arithmetik für das distributive Aus- multipliziren einer Differenz (sowie umgekehrt für das Ausscheiden eines gemeinsamen Faktors im Minuend und Subtrahend einer solchen): ω1) a (b ÷ c) = a b ÷ a c auch hier Geltung hat, indem nach dem Schema η) sich übereinstimmend a b (c1 + u) als Wert der beiden Seiten ergibt unter der schon bei τ) er- wähnten Valenzbedingung b1 c = 0, die man als eine selbstverständliche auch unerwähnt lassen könnte auf Grund des Axioms, dass ein Satz nur Geltung beanspruchen kann für diejenigen Fälle, für welche Dasjenige, worüber er aussagt, einen Sinn besitzt. Ferner ergeben sich die Werte der nachstehend untereinandergestellten

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 493. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/513>, abgerufen am 25.08.2024.