§ 23. Die Negation als ihr gemeinsamer Spezialfall.
wie wir gesehen haben, der identische Kalkul -- als mit seiner "dritten Spezies" -- schon völlig aus.
Zieht man auch die beiden inversen Operationen mit unter den Gesichtspunkt des Dualismus, so werden natürlich zugleich mit Addi- tion und Multiplikation auch Subtraktion und Division ihre Rollen auszutauschen haben. Alsdann kann man sagen, dass die hiemit ge- gebene Gleichung: n)
[Formel 1]
zu sich selbst dual ist.
Und das gleiche gilt auch von den noch durch ihre Kombination mit sich selbst entstehenden Gleichungen wie:
[Formel 2]
etc. Die p. 31 meines Operationskreis2 gemachte Angabe, dass diese er- wähnten die einzigen zu sich selbst dualen Formeln des identischen Kal- kuls seien, beruhte jedoch auf einem Übersehen, ist eine zu weit gehende gewesen, wie wir denn in der That schon in § 18 unter ph) auch noch andre Formeln solchen Charakters kennen gelernt haben. --
Mit Rücksicht auf m) hätten die fundamentalen Theoreme 30) und 31) nun auch in folgenden Formen angeschrieben werden können, in deren einigen (den durch die Beisetzung der Chiffre hervorgehobenen) es nützlich ist, sie gesehen zu haben:
[Formel 3]
Die 31) zeigt, dass nicht -- (-- a) = a oder 0 -- (0 -- a) = a, sondern 1 -- (1 -- a) = a das wahre arithmetische Analogon des logischen Satzes von der doppelten Verneinung ist -- worauf wir uns schon S. 306 beriefen.
Beachtenswert erscheint, dass der Ausdruck k), mit x bezeichnet bezüglich die Auflösung ist des folgenden Paares von Gleichungen: o)
x + b = a, x b = 0
x b = a, x + b = 1
durch welches also k )
x = a -- b
x = a : b =
[Formel 4]
vollkommen eindeutig bestimmt wird.
Man erkennt dies leicht, indem man systematisch zuwerke geht, zu-
§ 23. Die Negation als ihr gemeinsamer Spezialfall.
wie wir gesehen haben, der identische Kalkul — als mit seiner „dritten Spezies“ — schon völlig aus.
Zieht man auch die beiden inversen Operationen mit unter den Gesichtspunkt des Dualismus, so werden natürlich zugleich mit Addi- tion und Multiplikation auch Subtraktion und Division ihre Rollen auszutauschen haben. Alsdann kann man sagen, dass die hiemit ge- gebene Gleichung: ν)
[Formel 1]
zu sich selbst dual ist.
Und das gleiche gilt auch von den noch durch ihre Kombination mit sich selbst entstehenden Gleichungen wie:
[Formel 2]
etc. Die p. 31 meines Operationskreis2 gemachte Angabe, dass diese er- wähnten die einzigen zu sich selbst dualen Formeln des identischen Kal- kuls seien, beruhte jedoch auf einem Übersehen, ist eine zu weit gehende gewesen, wie wir denn in der That schon in § 18 unter φ) auch noch andre Formeln solchen Charakters kennen gelernt haben. —
Mit Rücksicht auf μ) hätten die fundamentalen Theoreme 30) und 31) nun auch in folgenden Formen angeschrieben werden können, in deren einigen (den durch die Beisetzung der Chiffre hervorgehobenen) es nützlich ist, sie gesehen zu haben:
[Formel 3]
Die 31) zeigt, dass nicht — (— a) = a oder 0 — (0 — a) = a, sondern 1 — (1 — a) = a das wahre arithmetische Analogon des logischen Satzes von der doppelten Verneinung ist — worauf wir uns schon S. 306 beriefen.
Beachtenswert erscheint, dass der Ausdruck ϰ), mit x bezeichnet bezüglich die Auflösung ist des folgenden Paares von Gleichungen: ο)
x + b = a, x b = 0
x b = a, x + b = 1
durch welches also ϰ )
x = a — b
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[Formel 4]
vollkommen eindeutig bestimmt wird.
Man erkennt dies leicht, indem man systematisch zuwerke geht, zu-
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[485/0505]
§ 23. Die Negation als ihr gemeinsamer Spezialfall.
wie wir gesehen haben, der identische Kalkul — als mit seiner „dritten
Spezies“ — schon völlig aus.
Zieht man auch die beiden inversen Operationen mit unter den
Gesichtspunkt des Dualismus, so werden natürlich zugleich mit Addi-
tion und Multiplikation auch Subtraktion und Division ihre Rollen
auszutauschen haben. Alsdann kann man sagen, dass die hiemit ge-
gebene Gleichung:
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zu sich selbst dual ist.
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sich selbst entstehenden Gleichungen wie:
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wähnten die einzigen zu sich selbst dualen Formeln des identischen Kal-
kuls seien, beruhte jedoch auf einem Übersehen, ist eine zu weit gehende
gewesen, wie wir denn in der That schon in § 18 unter φ) auch noch
andre Formeln solchen Charakters kennen gelernt haben. —
Mit Rücksicht auf μ) hätten die fundamentalen Theoreme 30) und 31)
nun auch in folgenden Formen angeschrieben werden können, in deren
einigen (den durch die Beisetzung der Chiffre hervorgehobenen) es nützlich
ist, sie gesehen zu haben:
[FORMEL]
Die 31) zeigt, dass nicht — (— a) = a oder 0 — (0 — a) = a, sondern
1 — (1 — a) = a das wahre arithmetische Analogon des logischen Satzes
von der doppelten Verneinung ist — worauf wir uns schon S. 306 beriefen.
Beachtenswert erscheint, dass der Ausdruck ϰ), mit x bezeichnet
bezüglich die Auflösung ist des folgenden Paares von Gleichungen:
ο) x + b = a, x b = 0 x b = a, x + b = 1
durch welches also
ϰ ) x = a — b x = a : b = [FORMEL]
vollkommen eindeutig bestimmt wird.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 485. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/505>, abgerufen am 22.11.2024.
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