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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Eilfte Vorlesung.
(a x y + c x y1 + e x1 y + g x1 y1) (b x y + d x y1 + f x1 y + h x1 y) = 0,
oder:
a b x y + c d x y1 + e f x1 y + g h x1 y1 = 0.
Hieraus aber folgt durch Eliminiren von y nebst x nach der vorstehend
schon bewiesenen Regel sogleich:
a b c d e f g h = 0,
und dasselbe würde (nur mit umgestellten Faktoren) sich auch er-
geben haben, hätte man zuerst x nebst y, hernach z eliminirt.

Man schliesst nun, wie vorhin, dass diese Relation die volle Re-
sultante der Elimination von x, y, z sein muss. Denn ist sie erfüllt,
so gibt es mindestens ein Wertepaar von x, y, für das die vorher-
gehende Gleichung und zu diesem dann auch einen z-Wert, zusammen
also ein Wertetripel von x, y, z, für welches die erste Gleichung er-
füllt ist.

Man könnte auch zuerst z und y auf einmal eliminiren; so er-
gäbe sich:
(a x + e x1) (b x + f x1) (c x + g x1) (d x + h x1) = 0
oder
a b c d x + e f g h x1 = 0,
woraus dann durch Elimination des x wiederum dieselbe Resultante
folgte -- desgleichen, falls man etwa in umgekehrter Ordnung erst x,
hernach y und z miteinander eliminirte.

e) Es ist also auch gleichgültig, ob man die Gruppe x, y und
ausserdem z, oder ob man x für sich, und die Gruppe y, z auf einmal
eliminirt.

Man sieht: das Eliminiren von Symbolen ist in Bezug auf diese --
nach d) -- eine kommutative und -- nach e) -- auch eine assoziative
Operation.

Wollte man vollkommen gründlich sein, so hätte man auf die-
selbe alle in Anhang 3 über die Multiplikation angestellten Betrach-
tungen zu übertragen -- ähnlich, wie dies auch in Bezug auf das
Entwickeln der Fall war -- vergl. § 19 Zus. 1 zu Th. 44). Und diese
Übertragung unterläge auch nicht der geringsten Schwierigkeit, indem
die erwähnten Betrachtungen einfach Geltung behalten, falls man nur
unter a b, anstatt ein Produkt, vorübergehend versteht: das Ergebniss
einer Elimination von a, b -- aus irgend einer bestimmten Elimina-
tionsbasis -- resp. der Entwickelung nach a, b von irgend einer be-
stimmten Funktion.

Aber auch schon darum, weil in unsrer resultirenden Relation
keine Unbekannte hinsichtlich ihres Koeffizienten (oder desjenigen ihrer

Eilfte Vorlesung.
(a x y + c x y1 + e x1 y + g x1 y1) (b x y + d x y1 + f x1 y + h x1 y) = 0,
oder:
a b x y + c d x y1 + e f x1 y + g h x1 y1 = 0.
Hieraus aber folgt durch Eliminiren von y nebst x nach der vorstehend
schon bewiesenen Regel sogleich:
a b c d e f g h = 0,
und dasselbe würde (nur mit umgestellten Faktoren) sich auch er-
geben haben, hätte man zuerst x nebst y, hernach z eliminirt.

Man schliesst nun, wie vorhin, dass diese Relation die volle Re-
sultante der Elimination von x, y, z sein muss. Denn ist sie erfüllt,
so gibt es mindestens ein Wertepaar von x, y, für das die vorher-
gehende Gleichung und zu diesem dann auch einen z-Wert, zusammen
also ein Wertetripel von x, y, z, für welches die erste Gleichung er-
füllt ist.

Man könnte auch zuerst z und y auf einmal eliminiren; so er-
gäbe sich:
(a x + e x1) (b x + f x1) (c x + g x1) (d x + h x1) = 0
oder
a b c d x + e f g h x1 = 0,
woraus dann durch Elimination des x wiederum dieselbe Resultante
folgte — desgleichen, falls man etwa in umgekehrter Ordnung erst x,
hernach y und z miteinander eliminirte.

ε) Es ist also auch gleichgültig, ob man die Gruppe x, y und
ausserdem z, oder ob man x für sich, und die Gruppe y, z auf einmal
eliminirt.

Man sieht: das Eliminiren von Symbolen ist in Bezug auf diese —
nach δ) — eine kommutative und — nach ε) — auch eine assoziative
Operation.

Wollte man vollkommen gründlich sein, so hätte man auf die-
selbe alle in Anhang 3 über die Multiplikation angestellten Betrach-
tungen zu übertragen — ähnlich, wie dies auch in Bezug auf das
Entwickeln der Fall war — vergl. § 19 Zus. 1 zu Th. 44). Und diese
Übertragung unterläge auch nicht der geringsten Schwierigkeit, indem
die erwähnten Betrachtungen einfach Geltung behalten, falls man nur
unter a b, anstatt ein Produkt, vorübergehend versteht: das Ergebniss
einer Elimination von a, b — aus irgend einer bestimmten Elimina-
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[468/0488] Eilfte Vorlesung. (a x y + c x y1 + e x1 y + g x1 y1) (b x y + d x y1 + f x1 y + h x1 y) = 0, oder: a b x y + c d x y1 + e f x1 y + g h x1 y1 = 0. Hieraus aber folgt durch Eliminiren von y nebst x nach der vorstehend schon bewiesenen Regel sogleich: a b c d e f g h = 0, und dasselbe würde (nur mit umgestellten Faktoren) sich auch er- geben haben, hätte man zuerst x nebst y, hernach z eliminirt. Man schliesst nun, wie vorhin, dass diese Relation die volle Re- sultante der Elimination von x, y, z sein muss. Denn ist sie erfüllt, so gibt es mindestens ein Wertepaar von x, y, für das die vorher- gehende Gleichung und zu diesem dann auch einen z-Wert, zusammen also ein Wertetripel von x, y, z, für welches die erste Gleichung er- füllt ist. Man könnte auch zuerst z und y auf einmal eliminiren; so er- gäbe sich: (a x + e x1) (b x + f x1) (c x + g x1) (d x + h x1) = 0 oder a b c d x + e f g h x1 = 0, woraus dann durch Elimination des x wiederum dieselbe Resultante folgte — desgleichen, falls man etwa in umgekehrter Ordnung erst x, hernach y und z miteinander eliminirte. ε) Es ist also auch gleichgültig, ob man die Gruppe x, y und ausserdem z, oder ob man x für sich, und die Gruppe y, z auf einmal eliminirt. Man sieht: das Eliminiren von Symbolen ist in Bezug auf diese — nach δ) — eine kommutative und — nach ε) — auch eine assoziative Operation. Wollte man vollkommen gründlich sein, so hätte man auf die- selbe alle in Anhang 3 über die Multiplikation angestellten Betrach- tungen zu übertragen — ähnlich, wie dies auch in Bezug auf das Entwickeln der Fall war — vergl. § 19 Zus. 1 zu Th. 44). Und diese Übertragung unterläge auch nicht der geringsten Schwierigkeit, indem die erwähnten Betrachtungen einfach Geltung behalten, falls man nur unter a b, anstatt ein Produkt, vorübergehend versteht: das Ergebniss einer Elimination von a, b — aus irgend einer bestimmten Elimina- tionsbasis — resp. der Entwickelung nach a, b von irgend einer be- stimmten Funktion. Aber auch schon darum, weil in unsrer resultirenden Relation keine Unbekannte hinsichtlich ihres Koeffizienten (oder desjenigen ihrer

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 468. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/488>, abgerufen am 22.07.2024.