des nach denselben entwickelten Polynoms der Gleichung gleich 0 setzt. [Ausdehnung von e) des § 21.]
Wir beweisen den Satz zunächst für irgend zwei Unbekannte x, y. Nach diesen entwickelt hat die Gleichung die Form:
a) a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1 = 0,
oder nach x geordnet:
b) (a y + b y1) x + (c y + d y1) x1 = 0,
desgleichen nach y geordnet:
g) (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1 = 0,
wobei die Koeffizienten a, b, c, d nun noch die übrigen Unbekannten z, ... als Argumente enthalten können.
Eliminirt man x allein, so kommt nach schon bekannter Regel:
b') (a y + b y1) (c y + d y1) = 0 oder a c y + b d y1 = 0,
und wenn hieraus jetzt y eliminirt wird: a c b d = 0.
Eliminirte man aber zuerst y, so käme
g') (a x + c x1) (b x + d x1) = 0 oder a b x + c d x1 = 0
woraus durch Elimination von x entsteht: a b c d = 0 -- das ist wesentlich dasselbe wie vorhin.
d) Es ist also zunächst gleichgültig, ob man erst x, dann y, oder ob man erst y, dann x eliminirt.
Die gefundene Relation a b c d = 0 muss nun aber auch die volle Resultante bei Elimination des Paars von Gebieten x, y sein. Denn wenn sie erfüllt ist, so gibt es jedenfalls (mindestens) ein Gebiet x, welches die vorhergehende Gleichung erfüllt -- vergl. d) des § 21). Weil diese aber die Resultante der Elimination von y aus der ersten Gleichung vorstellte und somit (für das gedachte x) erfüllt ist, so gibt es (zu diesem) nun auch ein y, welches die erste Gleichung erfüllt. Sonach gibt es, sobald die Relation a b c d = 0 erfüllt ist, sicherlich ein Wertepaar von x, y, für welches die ursprüngliche Gleichung rich- tig wird, d. h. diese Relation ist die (volle) Resultante der Elimina- tion von x und y zugleich.
In dieser Weise kann man weiter schliessen. Bezüglich dreier Unbekannten x, y, z entwickelt hat die Gleichung die Form: a x y z + b x y z1 + c x y1z + d x y1z1 + e x1y z + f x1y z1 + g x1y1z + h x1y1z1 = 0 und gibt die Elimination von z:
30*
§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte.
des nach denselben entwickelten Polynoms der Gleichung gleich 0 setzt. [Ausdehnung von η) des § 21.]
Wir beweisen den Satz zunächst für irgend zwei Unbekannte x, y. Nach diesen entwickelt hat die Gleichung die Form:
α) a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1 = 0,
oder nach x geordnet:
β) (a y + b y1) x + (c y + d y1) x1 = 0,
desgleichen nach y geordnet:
γ) (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1 = 0,
wobei die Koeffizienten a, b, c, d nun noch die übrigen Unbekannten z, … als Argumente enthalten können.
Eliminirt man x allein, so kommt nach schon bekannter Regel:
β') (a y + b y1) (c y + d y1) = 0 oder a c y + b d y1 = 0,
und wenn hieraus jetzt y eliminirt wird: a c b d = 0.
Eliminirte man aber zuerst y, so käme
γ') (a x + c x1) (b x + d x1) = 0 oder a b x + c d x1 = 0
woraus durch Elimination von x entsteht: a b c d = 0 — das ist wesentlich dasselbe wie vorhin.
δ) Es ist also zunächst gleichgültig, ob man erst x, dann y, oder ob man erst y, dann x eliminirt.
Die gefundene Relation a b c d = 0 muss nun aber auch die volle Resultante bei Elimination des Paars von Gebieten x, y sein. Denn wenn sie erfüllt ist, so gibt es jedenfalls (mindestens) ein Gebiet x, welches die vorhergehende Gleichung erfüllt — vergl. δ) des § 21). Weil diese aber die Resultante der Elimination von y aus der ersten Gleichung vorstellte und somit (für das gedachte x) erfüllt ist, so gibt es (zu diesem) nun auch ein y, welches die erste Gleichung erfüllt. Sonach gibt es, sobald die Relation a b c d = 0 erfüllt ist, sicherlich ein Wertepaar von x, y, für welches die ursprüngliche Gleichung rich- tig wird, d. h. diese Relation ist die (volle) Resultante der Elimina- tion von x und y zugleich.
In dieser Weise kann man weiter schliessen. Bezüglich dreier Unbekannten x, y, z entwickelt hat die Gleichung die Form: a x y z + b x y z1 + c x y1z + d x y1z1 + e x1y z + f x1y z1 + g x1y1z + h x1y1z1 = 0 und gibt die Elimination von z:
30*
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0487"n="467"/><fwplace="top"type="header">§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte.</fw><lb/><hirendition="#i">des nach denselben entwickelten Polynoms der Gleichung gleich</hi> 0 <hirendition="#i">setzt</hi>.<lb/>
[Ausdehnung von <hirendition="#i">η</hi>) des § 21.]</p><lb/><p>Wir <hirendition="#g">beweisen</hi> den Satz zunächst für irgend zwei Unbekannte <hirendition="#i">x</hi>, <hirendition="#i">y</hi>.<lb/>
Nach diesen entwickelt hat die Gleichung die Form:</p><lb/><list><item><hirendition="#i">α</hi>) <hirendition="#et"><hirendition="#i">a x y</hi> + <hirendition="#i">b x y</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">c x</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">y</hi> + <hirendition="#i">d x</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">y</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0,</hi></item></list><lb/><p>oder nach <hirendition="#i">x</hi> geordnet:</p><lb/><list><item><hirendition="#i">β</hi>) <hirendition="#et">(<hirendition="#i">a y</hi> + <hirendition="#i">b y</hi><hirendition="#sub">1</hi>) <hirendition="#i">x</hi> + (<hirendition="#i">c y</hi> + <hirendition="#i">d y</hi><hirendition="#sub">1</hi>) <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0,</hi></item></list><lb/><p>desgleichen nach <hirendition="#i">y</hi> geordnet:</p><lb/><list><item><hirendition="#i">γ</hi>) <hirendition="#et">(<hirendition="#i">a x</hi> + <hirendition="#i">c x</hi><hirendition="#sub">1</hi>) <hirendition="#i">y</hi> + (<hirendition="#i">b x</hi> + <hirendition="#i">d x</hi><hirendition="#sub">1</hi>) <hirendition="#i">y</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0,</hi></item></list><lb/><p>wobei die Koeffizienten <hirendition="#i">a</hi>, <hirendition="#i">b</hi>, <hirendition="#i">c</hi>, <hirendition="#i">d</hi> nun noch die übrigen Unbekannten<lb/><hirendition="#i">z</hi>, … als Argumente enthalten können.</p><lb/><p>Eliminirt man <hirendition="#i">x</hi> allein, so kommt nach schon bekannter Regel:</p><lb/><list><item><hirendition="#i">β</hi>') <hirendition="#et">(<hirendition="#i">a y</hi> + <hirendition="#i">b y</hi><hirendition="#sub">1</hi>) (<hirendition="#i">c y</hi> + <hirendition="#i">d y</hi><hirendition="#sub">1</hi>) = 0 oder <hirendition="#i">a c y</hi> + <hirendition="#i">b d y</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0,</hi></item></list><lb/><p>und wenn hieraus jetzt <hirendition="#i">y</hi> eliminirt wird:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a c b d</hi> = 0.</hi></p><lb/><p>Eliminirte man aber zuerst <hirendition="#i">y</hi>, so käme</p><lb/><list><item><hirendition="#i">γ</hi>') <hirendition="#et">(<hirendition="#i">a x</hi> + <hirendition="#i">c x</hi><hirendition="#sub">1</hi>) (<hirendition="#i">b x</hi> + <hirendition="#i">d x</hi><hirendition="#sub">1</hi>) = 0 oder <hirendition="#i">a b x</hi> + <hirendition="#i">c d x</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0</hi></item></list><lb/><p>woraus durch Elimination von <hirendition="#i">x</hi> entsteht:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a b c d</hi> = 0</hi><lb/>— das ist wesentlich dasselbe wie vorhin.</p><lb/><p><hirendition="#i">δ</hi>) <hirendition="#i">Es ist</hi> also zunächst <hirendition="#i">gleichgültig, ob man erst x, dann y, oder<lb/>
ob man erst y, dann x eliminirt</hi>.</p><lb/><p>Die gefundene Relation <hirendition="#i">a b c d</hi> = 0 muss nun aber auch die volle<lb/>
Resultante bei Elimination des Paars von Gebieten <hirendition="#i">x</hi>, <hirendition="#i">y</hi> sein. Denn<lb/>
wenn sie erfüllt ist, so gibt es jedenfalls (mindestens) ein Gebiet <hirendition="#i">x</hi>,<lb/>
welches die vorhergehende Gleichung erfüllt — vergl. <hirendition="#i">δ</hi>) des § 21).<lb/>
Weil diese aber die Resultante der Elimination von <hirendition="#i">y</hi> aus der ersten<lb/>
Gleichung vorstellte und somit (für das gedachte <hirendition="#i">x</hi>) erfüllt ist, so gibt<lb/>
es (zu diesem) nun auch ein <hirendition="#i">y</hi>, welches die erste Gleichung erfüllt.<lb/>
Sonach gibt es, sobald die Relation <hirendition="#i">a b c d</hi> = 0 erfüllt ist, sicherlich<lb/>
ein Wertepaar von <hirendition="#i">x</hi>, <hirendition="#i">y</hi>, für welches die ursprüngliche Gleichung rich-<lb/>
tig wird, d. h. diese Relation ist die (volle) Resultante der Elimina-<lb/>
tion von <hirendition="#i">x</hi> und <hirendition="#i">y</hi> zugleich.</p><lb/><p>In dieser Weise kann man weiter schliessen. Bezüglich dreier<lb/>
Unbekannten <hirendition="#i">x</hi>, <hirendition="#i">y</hi>, <hirendition="#i">z</hi> entwickelt hat die Gleichung die Form:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a x y z</hi> + <hirendition="#i">b x y z</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">c x y</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">z</hi> + <hirendition="#i">d x y</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">z</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">e x</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">y z</hi> + <hirendition="#i">f x</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">y z</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">g x</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">y</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">z</hi> + <hirendition="#i">h x</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">y</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">z</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0</hi><lb/>
und gibt die Elimination von <hirendition="#i">z</hi>:<lb/><fwplace="bottom"type="sig">30*</fw><lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[467/0487]
§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte.
des nach denselben entwickelten Polynoms der Gleichung gleich 0 setzt.
[Ausdehnung von η) des § 21.]
Wir beweisen den Satz zunächst für irgend zwei Unbekannte x, y.
Nach diesen entwickelt hat die Gleichung die Form:
α) a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0,
oder nach x geordnet:
β) (a y + b y1) x + (c y + d y1) x1 = 0,
desgleichen nach y geordnet:
γ) (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1 = 0,
wobei die Koeffizienten a, b, c, d nun noch die übrigen Unbekannten
z, … als Argumente enthalten können.
Eliminirt man x allein, so kommt nach schon bekannter Regel:
β') (a y + b y1) (c y + d y1) = 0 oder a c y + b d y1 = 0,
und wenn hieraus jetzt y eliminirt wird:
a c b d = 0.
Eliminirte man aber zuerst y, so käme
γ') (a x + c x1) (b x + d x1) = 0 oder a b x + c d x1 = 0
woraus durch Elimination von x entsteht:
a b c d = 0
— das ist wesentlich dasselbe wie vorhin.
δ) Es ist also zunächst gleichgültig, ob man erst x, dann y, oder
ob man erst y, dann x eliminirt.
Die gefundene Relation a b c d = 0 muss nun aber auch die volle
Resultante bei Elimination des Paars von Gebieten x, y sein. Denn
wenn sie erfüllt ist, so gibt es jedenfalls (mindestens) ein Gebiet x,
welches die vorhergehende Gleichung erfüllt — vergl. δ) des § 21).
Weil diese aber die Resultante der Elimination von y aus der ersten
Gleichung vorstellte und somit (für das gedachte x) erfüllt ist, so gibt
es (zu diesem) nun auch ein y, welches die erste Gleichung erfüllt.
Sonach gibt es, sobald die Relation a b c d = 0 erfüllt ist, sicherlich
ein Wertepaar von x, y, für welches die ursprüngliche Gleichung rich-
tig wird, d. h. diese Relation ist die (volle) Resultante der Elimina-
tion von x und y zugleich.
In dieser Weise kann man weiter schliessen. Bezüglich dreier
Unbekannten x, y, z entwickelt hat die Gleichung die Form:
a x y z + b x y z1 + c x y1 z + d x y1 z1 + e x1 y z + f x1 y z1 + g x1 y1 z + h x1 y1 z1 = 0
und gibt die Elimination von z:
30*
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 467. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/487>, abgerufen am 22.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
