In diesem Falle würde durch die aufzulösende Gleichung: 0 · x + 0 · x1 = 0 offenbar x vollkommen unbestimmt gelassen, und müsste in der That u = x selbst genommen werden, falls hier die Formel x = b u1 + a1u = 0 · u1 + 1 · u noch die Auflösung darstellen sollte.
Augenscheinlich ist jedoch dieser Fall nur ein Grenzfall von sehr spe- ziellem Charakter und untergeordneter Wichtigkeit, der wol kaum besonders gemerkt zu werden braucht.
o) Jedenfalls ist, wie aus ph) nochmals und schon aus g) ersicht- lich, die Annahme u = x selber für den unbestimmten Parameter ge- nügend, um einen gegebenen Partikularwert x aus dem allgemeinen Aus- druck der Wurzeln hervorgehen zu lassen.
§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte.
Nachdem vorstehend das Auflösungs- sowie das Eliminationspro- blem für eine Unbekannte erledigt ist (insoweit als gegebene Propo- sitionen nur Subsumtionen und Gleichungen in Betracht kommen), fassen wir den Fall in's Auge, wo mehrere Unbekannte vorliegen.
Diese werden, wenn sie in einem Propositionensysteme vorkamen, in der Regel auch in dessen vereinigter Gleichung auftreten. Wenn nicht -- so fallen sie aus dem System von selbst heraus, da mit diesem ja die vereinigte Gleichung logisch äquivalent ist. Wird diese stehen bleibende Gleichung sich als "falsch" herausstellen, so war das ganze Auflösungsproblem unmöglich; andernfalles aber bleiben die herausfallenden Unbekannten vollkommen unbestimmt, und, sofern nicht noch anderweitige Bestimmungen für sie hinzutreten, willkürlich. Es bleibt dann nur noch die Frage nach den Wertsystemen der nicht herausfallenden Unbekannten zu beantworten.
Seien x, y, z, ... die in der vereinigten Gleichung auftretenden Unbekannten. So wird die linke Seite derselben sich nach jeder ein- zelnen von diesen, sowie nach allen zusammen entwickeln lassen.
Man kann nach der (vollständigen) Resultante der Elimination irgend einer von ihnen, oder einer Gruppe derselben, oder auch von allen miteinander fragen.
Hier gilt nun der Satz:
Zusatz 1 zu Th. 50). Die Resultante der Elimination sämtlicher Unbekannten wird erhalten, indem man das Produkt der Koeffizienten
Eilfte Vorlesung.
In diesem Falle würde durch die aufzulösende Gleichung: 0 · x + 0 · x1 = 0 offenbar x vollkommen unbestimmt gelassen, und müsste in der That u = x selbst genommen werden, falls hier die Formel x = b u1 + a1u = 0 · u1 + 1 · u noch die Auflösung darstellen sollte.
Augenscheinlich ist jedoch dieser Fall nur ein Grenzfall von sehr spe- ziellem Charakter und untergeordneter Wichtigkeit, der wol kaum besonders gemerkt zu werden braucht.
ω) Jedenfalls ist, wie aus φ) nochmals und schon aus γ) ersicht- lich, die Annahme u = x selber für den unbestimmten Parameter ge- nügend, um einen gegebenen Partikularwert x aus dem allgemeinen Aus- druck der Wurzeln hervorgehen zu lassen.
§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte.
Nachdem vorstehend das Auflösungs- sowie das Eliminationspro- blem für eine Unbekannte erledigt ist (insoweit als gegebene Propo- sitionen nur Subsumtionen und Gleichungen in Betracht kommen), fassen wir den Fall in's Auge, wo mehrere Unbekannte vorliegen.
Diese werden, wenn sie in einem Propositionensysteme vorkamen, in der Regel auch in dessen vereinigter Gleichung auftreten. Wenn nicht — so fallen sie aus dem System von selbst heraus, da mit diesem ja die vereinigte Gleichung logisch äquivalent ist. Wird diese stehen bleibende Gleichung sich als „falsch“ herausstellen, so war das ganze Auflösungsproblem unmöglich; andernfalles aber bleiben die herausfallenden Unbekannten vollkommen unbestimmt, und, sofern nicht noch anderweitige Bestimmungen für sie hinzutreten, willkürlich. Es bleibt dann nur noch die Frage nach den Wertsystemen der nicht herausfallenden Unbekannten zu beantworten.
Seien x, y, z, … die in der vereinigten Gleichung auftretenden Unbekannten. So wird die linke Seite derselben sich nach jeder ein- zelnen von diesen, sowie nach allen zusammen entwickeln lassen.
Man kann nach der (vollständigen) Resultante der Elimination irgend einer von ihnen, oder einer Gruppe derselben, oder auch von allen miteinander fragen.
Hier gilt nun der Satz:
Zusatz 1 zu Th. 50). Die Resultante der Elimination sämtlicher Unbekannten wird erhalten, indem man das Produkt der Koeffizienten
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Eilfte Vorlesung.
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selbst genommen werden, falls hier die Formel
x = b u1 + a1 u = 0 · u1 + 1 · u
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Augenscheinlich ist jedoch dieser Fall nur ein Grenzfall von sehr spe-
ziellem Charakter und untergeordneter Wichtigkeit, der wol kaum besonders
gemerkt zu werden braucht.
ω) Jedenfalls ist, wie aus φ) nochmals und schon aus γ) ersicht-
lich, die Annahme u = x selber für den unbestimmten Parameter ge-
nügend, um einen gegebenen Partikularwert x aus dem allgemeinen Aus-
druck der Wurzeln hervorgehen zu lassen.
§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte.
Nachdem vorstehend das Auflösungs- sowie das Eliminationspro-
blem für eine Unbekannte erledigt ist (insoweit als gegebene Propo-
sitionen nur Subsumtionen und Gleichungen in Betracht kommen),
fassen wir den Fall in's Auge, wo mehrere Unbekannte vorliegen.
Diese werden, wenn sie in einem Propositionensysteme vorkamen,
in der Regel auch in dessen vereinigter Gleichung auftreten. Wenn
nicht — so fallen sie aus dem System von selbst heraus, da mit
diesem ja die vereinigte Gleichung logisch äquivalent ist. Wird diese
stehen bleibende Gleichung sich als „falsch“ herausstellen, so war das
ganze Auflösungsproblem unmöglich; andernfalles aber bleiben die
herausfallenden Unbekannten vollkommen unbestimmt, und, sofern nicht
noch anderweitige Bestimmungen für sie hinzutreten, willkürlich. Es
bleibt dann nur noch die Frage nach den Wertsystemen der nicht
herausfallenden Unbekannten zu beantworten.
Seien x, y, z, … die in der vereinigten Gleichung auftretenden
Unbekannten. So wird die linke Seite derselben sich nach jeder ein-
zelnen von diesen, sowie nach allen zusammen entwickeln lassen.
Man kann nach der (vollständigen) Resultante der Elimination
irgend einer von ihnen, oder einer Gruppe derselben, oder auch von
allen miteinander fragen.
Hier gilt nun der Satz:
Zusatz 1 zu Th. 50). Die Resultante der Elimination sämtlicher
Unbekannten wird erhalten, indem man das Produkt der Koeffizienten
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 466. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/486>, abgerufen am 03.12.2024.
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