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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Eilfte Vorlesung.
dann mit R zusammen und ist seine eigene Eliminationsresultante. Denn
erstens ist es "ein" Eliminationsergebniss, weil es x, y, ... nicht mehr
(genauer: ohnehin nicht) enthält und doch "aus B folgt", nämlich
seine Geltung mit der von B gegeben ist (Wenn B gilt, so gilt B --
vergl. Prinzip I im Aussagenkalkul); und zweitens ist es das volle
Ergebniss, indem, sobald es erfüllt ist, sonach B gilt, es auch Wert-
systeme von x, y, .. geben muss, "für welche B gilt", dann nämlich
B ohnehin gelten muss, welche Wertsysteme man auch immer unter
x, y, .. verstehen mag. -- Es versteht sich, dass in solchem Grenz-
falle von Eliminiren nur in uneigentlichem Sinne zu sprechen ist, so-
fern man Jemanden, der gar nicht da ist, auch nicht hinauswerfen kann.

Aber auch wenn B von vornherein die Eliminanden x, y, ... oder
wenigstens einige derselben enthielt, kann es doch mit der Elimi-
nationsresultant R logisch äquivalent sein -- und dies bildet noch
eine zweite Art von besondern Fällen bemerkenswerten Charakters.

Trifft solches zu, sodass also nicht nur R aus B folgt, sobald B
nur für irgend ein Wertsystem der x, y, ... erfüllt ist, schlechthin
gilt, sondern auch, wenn R gilt, B unbedingt gelten muss, mithin
gelten muss für jedes beliebige Wertsystem der Eliminanden x, y, ...,
so sagt man, dass letztere "von selbst aus B herausfallen". Dann kann
ja in der That B durch R ganz und gar ersetzt werden. --

Ist die volle Resultante zu einer Gleichung (Basis) nur eine ana-
lytische, Formel oder Identität, wie 0 = 0, so wird man nach dem
unter e) Bemerkten auch sagen dürfen: die Gleichung liefere, oder
habe, keine Resultante.

Zu allen diesen vorerst theoretisch als möglich erkannten Vor-
kommnissen wird uns die Praxis Beispiele liefern.

Durch die Elimination entlastet sich der Geist, indem er auf seine
Kenntnisse in Hinsicht der Eliminanden zeitweilig verzichtet, dieselben
fallen lässt, von ihnen absieht, abstrahirt, jeweils von solchen Erkennt-
nisselementen, welche für die Verfolgung bestimmter Erkenntnisszwecke
unwesentlich, belanglos erscheinen und deren Beibehaltung also ihn
hiebei nur als ein Ballast zu beschweren vermöchte.

z) Kehren wir nach diesen allgemeinen, nämlich auf jedes System
von Propositionen, Aussagen und jede Gruppe von Symbolen anwend-
baren (in gleicher Weise auch auf die Relationen der numerischen
Mathematik übertragbaren) Betrachtungen, durch welche der Begriff
des Eliminationsresultates festgelegt ist, zurück zu unserm Theorem 50+).

Hier wird in der That die Gleichung a b = 0 nun als die volle

Eilfte Vorlesung.
dann mit R zusammen und ist seine eigene Eliminationsresultante. Denn
erstens ist es „ein“ Eliminationsergebniss, weil es x, y, … nicht mehr
(genauer: ohnehin nicht) enthält und doch „aus B folgt“, nämlich
seine Geltung mit der von B gegeben ist (Wenn B gilt, so gilt B —
vergl. Prinzip I im Aussagenkalkul); und zweitens ist es das volle
Ergebniss, indem, sobald es erfüllt ist, sonach B gilt, es auch Wert-
systeme von x, y, ‥ geben muss, „für welche B gilt“, dann nämlich
B ohnehin gelten muss, welche Wertsysteme man auch immer unter
x, y, ‥ verstehen mag. — Es versteht sich, dass in solchem Grenz-
falle von Eliminiren nur in uneigentlichem Sinne zu sprechen ist, so-
fern man Jemanden, der gar nicht da ist, auch nicht hinauswerfen kann.

Aber auch wenn B von vornherein die Eliminanden x, y, … oder
wenigstens einige derselben enthielt, kann es doch mit der Elimi-
nationsresultant R logisch äquivalent sein — und dies bildet noch
eine zweite Art von besondern Fällen bemerkenswerten Charakters.

Trifft solches zu, sodass also nicht nur R aus B folgt, sobald B
nur für irgend ein Wertsystem der x, y, … erfüllt ist, schlechthin
gilt, sondern auch, wenn R gilt, B unbedingt gelten muss, mithin
gelten muss für jedes beliebige Wertsystem der Eliminanden x, y, …,
so sagt man, dass letztere „von selbst aus B herausfallen“. Dann kann
ja in der That B durch R ganz und gar ersetzt werden. —

Ist die volle Resultante zu einer Gleichung (Basis) nur eine ana-
lytische, Formel oder Identität, wie 0 = 0, so wird man nach dem
unter ε) Bemerkten auch sagen dürfen: die Gleichung liefere, oder
habe, keine Resultante.

Zu allen diesen vorerst theoretisch als möglich erkannten Vor-
kommnissen wird uns die Praxis Beispiele liefern.

Durch die Elimination entlastet sich der Geist, indem er auf seine
Kenntnisse in Hinsicht der Eliminanden zeitweilig verzichtet, dieselben
fallen lässt, von ihnen absieht, abstrahirt, jeweils von solchen Erkennt-
nisselementen, welche für die Verfolgung bestimmter Erkenntnisszwecke
unwesentlich, belanglos erscheinen und deren Beibehaltung also ihn
hiebei nur als ein Ballast zu beschweren vermöchte.

ζ) Kehren wir nach diesen allgemeinen, nämlich auf jedes System
von Propositionen, Aussagen und jede Gruppe von Symbolen anwend-
baren (in gleicher Weise auch auf die Relationen der numerischen
Mathematik übertragbaren) Betrachtungen, durch welche der Begriff
des Eliminationsresultates festgelegt ist, zurück zu unserm Theorem 50+).

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[454/0474] Eilfte Vorlesung. dann mit R zusammen und ist seine eigene Eliminationsresultante. Denn erstens ist es „ein“ Eliminationsergebniss, weil es x, y, … nicht mehr (genauer: ohnehin nicht) enthält und doch „aus B folgt“, nämlich seine Geltung mit der von B gegeben ist (Wenn B gilt, so gilt B — vergl. Prinzip I im Aussagenkalkul); und zweitens ist es das volle Ergebniss, indem, sobald es erfüllt ist, sonach B gilt, es auch Wert- systeme von x, y, ‥ geben muss, „für welche B gilt“, dann nämlich B ohnehin gelten muss, welche Wertsysteme man auch immer unter x, y, ‥ verstehen mag. — Es versteht sich, dass in solchem Grenz- falle von Eliminiren nur in uneigentlichem Sinne zu sprechen ist, so- fern man Jemanden, der gar nicht da ist, auch nicht hinauswerfen kann. Aber auch wenn B von vornherein die Eliminanden x, y, … oder wenigstens einige derselben enthielt, kann es doch mit der Elimi- nationsresultant R logisch äquivalent sein — und dies bildet noch eine zweite Art von besondern Fällen bemerkenswerten Charakters. Trifft solches zu, sodass also nicht nur R aus B folgt, sobald B nur für irgend ein Wertsystem der x, y, … erfüllt ist, schlechthin gilt, sondern auch, wenn R gilt, B unbedingt gelten muss, mithin gelten muss für jedes beliebige Wertsystem der Eliminanden x, y, …, so sagt man, dass letztere „von selbst aus B herausfallen“. Dann kann ja in der That B durch R ganz und gar ersetzt werden. — Ist die volle Resultante zu einer Gleichung (Basis) nur eine ana- lytische, Formel oder Identität, wie 0 = 0, so wird man nach dem unter ε) Bemerkten auch sagen dürfen: die Gleichung liefere, oder habe, keine Resultante. Zu allen diesen vorerst theoretisch als möglich erkannten Vor- kommnissen wird uns die Praxis Beispiele liefern. Durch die Elimination entlastet sich der Geist, indem er auf seine Kenntnisse in Hinsicht der Eliminanden zeitweilig verzichtet, dieselben fallen lässt, von ihnen absieht, abstrahirt, jeweils von solchen Erkennt- nisselementen, welche für die Verfolgung bestimmter Erkenntnisszwecke unwesentlich, belanglos erscheinen und deren Beibehaltung also ihn hiebei nur als ein Ballast zu beschweren vermöchte. ζ) Kehren wir nach diesen allgemeinen, nämlich auf jedes System von Propositionen, Aussagen und jede Gruppe von Symbolen anwend- baren (in gleicher Weise auch auf die Relationen der numerischen Mathematik übertragbaren) Betrachtungen, durch welche der Begriff des Eliminationsresultates festgelegt ist, zurück zu unserm Theorem 50+). Hier wird in der That die Gleichung a b = 0 nun als die volle

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 454. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/474>, abgerufen am 16.02.2025.