Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
tionen sich darstellt, vielmehr in eine einzige Relation zusammen-
gezogen ist, auch "die Resultante der Elimination".. Dass die An-
wendung des bestimmten Artikels hiebei gerechtfertigt ist, wird dem-
nächst erhellen.

Es bezeichne B kurz das als Basis der Elimination von x, y, ...
gegebene System von Propositionen (und zwar Relationen), ebenso
bezeichne R ein Eliminationsergebniss. Dasselbe wird hienach ein
System von Relationen sein (oder auch eine einzige Relation), das
aus B folgt, jedoch die in B (vielleicht) vorkommenden Symbole x,
y, ... nicht enthält; R kann nur andere, in B ebenfalls vorkommende
Symbole, wie a, b, ... enthalten (nebst vielleicht noch ganz neuen
Symbolen, die auch in B nicht vorgekommen waren, wie es zum Bei-
spiel unbestimmte Parameter sein würden).

Nach der beabsichtigten Erklärung ist R dann "ein volles Eli-
minationsergebniss" zu nennen, wenn, sobald R erfüllt ist, es sicher
mindestens ein Wertsystem von x, y, ... gibt, für welches auch B ·er-
füllt sein muss.

Ist nun auch R' "ein volles Eliminationsergebniss" in diesem
Sinne, so erkennt man leicht, dass die beiden Ergebnisse R und R'
logisch äquivalent sind, dass sie einander gegenseitig bedingen müssen:
wann R erfüllt ist, wird auch R' erfüllt sein und ebenso folgt um-
gekehrt aus der Geltung von R' auch die von R; der Fall, dass zwar
eines von den beiden Ergebnissen, aber nicht das andere, erfüllt ist,
kann nicht vorkommen.

Denn wäre zum Beispiel R erfüllt, während R' nicht erfüllt ist,
so gäbe es aus dem erstern Grunde ein Wertsystem der x, y, ... für
welches auch B erfüllt ist. Da für dieses nun also B gilt, so muss
auch R' gelten, indem laut Voraussetzung R' als ein Eliminations-
ergebniss aus B folgte. Das Erfülltsein von R' widerspräche also der
soeben gemachten Annahme seines Nichterfülltseins, welche hienach
unzulässig war, zu verwerfen ist. Etc.

Wir sind darum berechtigt, R' eine blosse Umschreibung von R
zu nennen; zu sagen R und R' seien wesentlich dasselbe Eliminations-
ergebniss -- vielleicht nur in verschiedenen Formen oder Ausdrucks-
weisen. Wir dürfen R (sowie auch R') als "das Resultat der Elimi-
nation" schlechthin bezeichnen.

In dem besonderen Falle, wo das Propositionensystem B die Eli-
minanden x, y, ... gar nicht enthalten sollte, wo von vornherein kein
einziger von diesen in ihm vorkäme, ist leicht zu sehen, dass B selber
das Resultat der Elimination von x, y, ... aus ihm sein muss; es fällt

§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
tionen sich darstellt, vielmehr in eine einzige Relation zusammen-
gezogen ist, auch „die Resultante der Elimination“‥ Dass die An-
wendung des bestimmten Artikels hiebei gerechtfertigt ist, wird dem-
nächst erhellen.

Es bezeichne B kurz das als Basis der Elimination von x, y, …
gegebene System von Propositionen (und zwar Relationen), ebenso
bezeichne R ein Eliminationsergebniss. Dasselbe wird hienach ein
System von Relationen sein (oder auch eine einzige Relation), das
aus B folgt, jedoch die in B (vielleicht) vorkommenden Symbole x,
y, … nicht enthält; R kann nur andere, in B ebenfalls vorkommende
Symbole, wie a, b, … enthalten (nebst vielleicht noch ganz neuen
Symbolen, die auch in B nicht vorgekommen waren, wie es zum Bei-
spiel unbestimmte Parameter sein würden).

Nach der beabsichtigten Erklärung ist R dann „ein volles Eli-
minationsergebniss“ zu nennen, wenn, sobald R erfüllt ist, es sicher
mindestens ein Wertsystem von x, y, … gibt, für welches auch B ·er-
füllt sein muss.

Ist nun auch R' „ein volles Eliminationsergebniss“ in diesem
Sinne, so erkennt man leicht, dass die beiden Ergebnisse R und R'
logisch äquivalent sind, dass sie einander gegenseitig bedingen müssen:
wann R erfüllt ist, wird auch R' erfüllt sein und ebenso folgt um-
gekehrt aus der Geltung von R' auch die von R; der Fall, dass zwar
eines von den beiden Ergebnissen, aber nicht das andere, erfüllt ist,
kann nicht vorkommen.

Denn wäre zum Beispiel R erfüllt, während R' nicht erfüllt ist,
so gäbe es aus dem erstern Grunde ein Wertsystem der x, y, … für
welches auch B erfüllt ist. Da für dieses nun also B gilt, so muss
auch R' gelten, indem laut Voraussetzung R' als ein Eliminations-
ergebniss aus B folgte. Das Erfülltsein von R' widerspräche also der
soeben gemachten Annahme seines Nichterfülltseins, welche hienach
unzulässig war, zu verwerfen ist. Etc.

Wir sind darum berechtigt, R' eine blosse Umschreibung von R
zu nennen; zu sagen R und R' seien wesentlich dasselbe Eliminations-
ergebniss — vielleicht nur in verschiedenen Formen oder Ausdrucks-
weisen. Wir dürfen R (sowie auch R') als „das Resultat der Elimi-
nation“ schlechthin bezeichnen.

In dem besonderen Falle, wo das Propositionensystem B die Eli-
minanden x, y, … gar nicht enthalten sollte, wo von vornherein kein
einziger von diesen in ihm vorkäme, ist leicht zu sehen, dass B selber
das Resultat der Elimination von x, y, … aus ihm sein muss; es fällt

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0473" n="453"/><fw place="top" type="header">§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.</fw><lb/>
tionen sich darstellt, vielmehr in eine einzige Relation zusammen-<lb/>
gezogen ist, auch &#x201E;<hi rendition="#i">die Resultante der Elimination</hi>&#x201C;&#x2025; Dass die An-<lb/>
wendung des bestimmten Artikels hiebei gerechtfertigt ist, wird dem-<lb/>
nächst erhellen.</p><lb/>
          <p>Es bezeichne <hi rendition="#i">B</hi> kurz das als Basis der Elimination von <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, &#x2026;<lb/>
gegebene System von Propositionen (und zwar Relationen), ebenso<lb/>
bezeichne <hi rendition="#i">R</hi> ein Eliminationsergebniss. Dasselbe wird hienach ein<lb/>
System von Relationen sein (oder auch eine einzige Relation), das<lb/>
aus <hi rendition="#i">B</hi> folgt, jedoch die in <hi rendition="#i">B</hi> (vielleicht) vorkommenden Symbole <hi rendition="#i">x</hi>,<lb/><hi rendition="#i">y</hi>, &#x2026; nicht enthält; <hi rendition="#i">R</hi> kann nur andere, in <hi rendition="#i">B</hi> ebenfalls vorkommende<lb/>
Symbole, wie <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, &#x2026; enthalten (nebst vielleicht noch ganz neuen<lb/>
Symbolen, die auch in <hi rendition="#i">B</hi> nicht vorgekommen waren, wie es zum Bei-<lb/>
spiel unbestimmte Parameter sein würden).</p><lb/>
          <p>Nach der beabsichtigten Erklärung ist <hi rendition="#i">R</hi> dann &#x201E;ein volles Eli-<lb/>
minationsergebniss&#x201C; zu nennen, wenn, sobald <hi rendition="#i">R</hi> erfüllt ist, es sicher<lb/>
mindestens <hi rendition="#i">ein</hi> Wertsystem von <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, &#x2026; gibt, für welches auch <hi rendition="#i">B</hi> ·er-<lb/>
füllt sein muss.</p><lb/>
          <p>Ist nun auch <hi rendition="#i">R</hi>' &#x201E;ein volles Eliminationsergebniss&#x201C; in diesem<lb/>
Sinne, so erkennt man leicht, dass die beiden Ergebnisse <hi rendition="#i">R</hi> und <hi rendition="#i">R</hi>'<lb/>
logisch äquivalent sind, dass sie einander gegenseitig bedingen müssen:<lb/>
wann <hi rendition="#i">R</hi> erfüllt ist, wird auch <hi rendition="#i">R</hi>' erfüllt sein und ebenso folgt um-<lb/>
gekehrt aus der Geltung von <hi rendition="#i">R</hi>' auch die von <hi rendition="#i">R</hi>; der Fall, dass zwar<lb/>
eines von den beiden Ergebnissen, aber nicht das andere, erfüllt ist,<lb/>
kann nicht vorkommen.</p><lb/>
          <p>Denn wäre zum Beispiel <hi rendition="#i">R</hi> erfüllt, während <hi rendition="#i">R</hi>' <hi rendition="#i">nicht</hi> erfüllt ist,<lb/>
so gäbe es aus dem erstern Grunde ein Wertsystem der <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, &#x2026; für<lb/>
welches auch <hi rendition="#i">B</hi> erfüllt ist. Da für dieses nun also <hi rendition="#i">B</hi> gilt, so muss<lb/>
auch <hi rendition="#i">R</hi>' gelten, indem laut Voraussetzung <hi rendition="#i">R</hi>' als ein Eliminations-<lb/>
ergebniss aus <hi rendition="#i">B folgte</hi>. Das Erfülltsein von <hi rendition="#i">R</hi>' widerspräche also der<lb/>
soeben gemachten Annahme seines Nichterfülltseins, welche hienach<lb/>
unzulässig war, zu verwerfen ist. Etc.</p><lb/>
          <p>Wir sind darum berechtigt, <hi rendition="#i">R</hi>' eine blosse Umschreibung von <hi rendition="#i">R</hi><lb/>
zu nennen; zu sagen <hi rendition="#i">R</hi> und <hi rendition="#i">R</hi>' seien wesentlich <hi rendition="#i">dasselbe</hi> Eliminations-<lb/>
ergebniss &#x2014; vielleicht nur in verschiedenen Formen oder Ausdrucks-<lb/>
weisen. Wir dürfen <hi rendition="#i">R</hi> (sowie auch <hi rendition="#i">R</hi>') als &#x201E;<hi rendition="#i">das</hi> Resultat der Elimi-<lb/>
nation&#x201C; schlechthin bezeichnen.</p><lb/>
          <p>In dem besonderen Falle, wo das Propositionensystem <hi rendition="#i">B</hi> die Eli-<lb/>
minanden <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, &#x2026; gar nicht enthalten sollte, wo von vornherein kein<lb/>
einziger von diesen in ihm vorkäme, ist leicht zu sehen, dass <hi rendition="#i">B</hi> selber<lb/>
das Resultat der Elimination von <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, &#x2026; aus ihm sein muss; es fällt<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[453/0473] § 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen. tionen sich darstellt, vielmehr in eine einzige Relation zusammen- gezogen ist, auch „die Resultante der Elimination“‥ Dass die An- wendung des bestimmten Artikels hiebei gerechtfertigt ist, wird dem- nächst erhellen. Es bezeichne B kurz das als Basis der Elimination von x, y, … gegebene System von Propositionen (und zwar Relationen), ebenso bezeichne R ein Eliminationsergebniss. Dasselbe wird hienach ein System von Relationen sein (oder auch eine einzige Relation), das aus B folgt, jedoch die in B (vielleicht) vorkommenden Symbole x, y, … nicht enthält; R kann nur andere, in B ebenfalls vorkommende Symbole, wie a, b, … enthalten (nebst vielleicht noch ganz neuen Symbolen, die auch in B nicht vorgekommen waren, wie es zum Bei- spiel unbestimmte Parameter sein würden). Nach der beabsichtigten Erklärung ist R dann „ein volles Eli- minationsergebniss“ zu nennen, wenn, sobald R erfüllt ist, es sicher mindestens ein Wertsystem von x, y, … gibt, für welches auch B ·er- füllt sein muss. Ist nun auch R' „ein volles Eliminationsergebniss“ in diesem Sinne, so erkennt man leicht, dass die beiden Ergebnisse R und R' logisch äquivalent sind, dass sie einander gegenseitig bedingen müssen: wann R erfüllt ist, wird auch R' erfüllt sein und ebenso folgt um- gekehrt aus der Geltung von R' auch die von R; der Fall, dass zwar eines von den beiden Ergebnissen, aber nicht das andere, erfüllt ist, kann nicht vorkommen. Denn wäre zum Beispiel R erfüllt, während R' nicht erfüllt ist, so gäbe es aus dem erstern Grunde ein Wertsystem der x, y, … für welches auch B erfüllt ist. Da für dieses nun also B gilt, so muss auch R' gelten, indem laut Voraussetzung R' als ein Eliminations- ergebniss aus B folgte. Das Erfülltsein von R' widerspräche also der soeben gemachten Annahme seines Nichterfülltseins, welche hienach unzulässig war, zu verwerfen ist. Etc. Wir sind darum berechtigt, R' eine blosse Umschreibung von R zu nennen; zu sagen R und R' seien wesentlich dasselbe Eliminations- ergebniss — vielleicht nur in verschiedenen Formen oder Ausdrucks- weisen. Wir dürfen R (sowie auch R') als „das Resultat der Elimi- nation“ schlechthin bezeichnen. In dem besonderen Falle, wo das Propositionensystem B die Eli- minanden x, y, … gar nicht enthalten sollte, wo von vornherein kein einziger von diesen in ihm vorkäme, ist leicht zu sehen, dass B selber das Resultat der Elimination von x, y, … aus ihm sein muss; es fällt

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/473
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 453. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/473>, abgerufen am 25.11.2024.