Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.

positionen sind wenigstens „unvereinbar“, „inkonsistent“, sie vertragen
sich nicht miteinander.

Die Forderung, die vereinigte Gleichung aufzulösen, überhaupt,
sie für irgend eine Bedeutung des Symboles x als gültig anzuerkennen,
bleibt es hier unmöglich, zu erfüllen.

Die Gleichung a b = 0 erscheint hienach als das Kennzeichen für
die Auflösbarkeit der Gleichung a x + b x₁ = 0 nach der Unbekannten x.

Nicht auflösbar war beispielsweise die Gleichung 1 · x + 1 · x₁ = 0; sie
selbst sowol als ihre „Resultante“ lief auf die absurde Forderung 1 = 0
hinaus; der Ansatz einer solchen Gleichung x + x₁ = 0 ist ganz und gar
unzulässig.

Nicht nur ist a b = 0 eine unerlässliche, notwendige Bedingung
sondern auch die hinreichende Bedingung für diese Auflösbarkeit.

Ist sie nämlich erfüllt, so gibt die dritte Gleichung unsres Theo-
rems: x = b u₁ + a₁ u für jede Bedeutung des u eine richtige Wurzel
und für ein von 0 bis 1 (im Klassenkalkul von „nichts“ bis „alles“)
variirendes u die sämtlichen Wurzeln der ersten Gleichung an.

Diese hat hienach, falls sie auflösbar ist, im Allgemeinen unend-
lich viele (eine unbegrenzte Anzahl oder Menge von) Wurzeln; ihre
Lösung nach x ist (unendlich-) vieldeutig. Geleistet wird die verlangte
Auflösung der ersten Gleichung dann also durch die dritte Gleichung
des Theorems, und zwar ausschliesslich und vollständig, indem die-
selbe für x einen allgemeinen Ausdruck angibt, welcher sämtliche
Wurzeln der erstern und nur solche umfasst.

Als die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die
Unbekannte x überhaupt einen Wert oder Werte habe, könnte man
die Gleichung a b = 0 füglich auch die „Wertigkeits“- oder „Valenz-
bedingung“ für x nennen. Nur wenn sie erfüllt war, konnte es ein die
Gleichung a x + b x₁ = 0 erfüllendes Gebiet x geben, war x eines
Wertes fähig, und wenn sie erfüllt ist, musste es auch ein solches
(eventuell mehrere solche) Gebiete geben, denn im letzteren Falle er-
wies sich jedes durch den Ausdruck b u₁ + a₁ u dargestellte Gebiet als
eines von der verlangten Eigenschaft.

ε) In Anbetracht, dass diese Gleichung a b = 0 den Namen x der
Unbekannten überhaupt nicht enthält, kann man sie aber, wie schon
eingangs angedeutet, auch noch unter einen andern Gesichtspunkt
bringen: man kann sie bezeichnen als „Resultante der Elimination des x
aus der ersten Gleichung a x + b x₁ = 0“ unsres Theorems.

So oft nämlich eine Gleichung oder überhaupt ein System von
Propositionen gegeben ist, in welchen eine Gruppe x, y, … von Sym-

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