§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
vertauschung aus dem damit gewonnenen Satze ableiten. Vertauschung von x mit x1 und zugleich von a mit b führt nämlich die Gleichung a x + b x1 = 0 nur in sich selbst über und ist darum gleichwie in dieser Prämisse, so auch in deren Konklusionen gestattet.
Wir werden im Verlauf der weiteren Untersuchungen erkennen, dass das Th. 49+) die im Titel des Paragraphen genannten beiden Probleme schon vollständig löst, dass wir nämlich berechtigt sind, das erste Subsumtionenpaar als die "Auflösung" der Gleichung a x + b x1 = 0 nach der Unbekannten x hinzustellen, und ebenso das zweite Subsum- tionenpaar als deren "Auflösung" nach der Unbekannten x1 (der Nega- tion der vorigen). Und ferner wird die nebenher mit diesen Subsum- tionenpaaren gegebene Relation ab1, oder, was damit nach Th. 37) äquivalent sein muss: ba1, oder endlich nach Th. 38x) in symme- trischer Fassung angeschrieben: a b = 0, als die "Resultante" der Elimination von x (nebst x1) aus der Glei- chung a x + b x1 = 0 zu bezeichnen sein.
Auflösung nebst Resultante fasst die Doppelsubsumtion übersicht- lichst zusammen.
Um alles dies zu erkennen, müssen wir uns aber jetzt in einige Betrachtungen von nicht mehr ganz so einfacher Natur vertiefen; wir müssen namentlich noch mit einer andern Form der "Auflösung" Be- kanntschaft machen, welche demjenigen, was man in der Mathematik unter der Auflösung, "Wurzel" einer Gleichung versteht, näher kommt, und, wenn sie auch nicht so bequem, wie die (angeblich) im obigen Theoreme dargestellte, mit Worten zu interpretiren sein wird, doch für die Zwecke der Rechnung gewisse Vorzüge beansprucht.
Als mit einer -- wie man später übersehen wird -- im Grunde nur neuen Fassung des vorigen Theorems müssen wir uns auch mit dem folgenden Theoreme befreunden.
50+) Theorem. Die Gleichung a x + b x1 = 0 ist äquivalent dem Gleichungenpaare: a b = 0 und x = b u1 + a1u, worin u ein unbestimmtes Gebiet vorstellt.
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
vertauschung aus dem damit gewonnenen Satze ableiten. Vertauschung von x mit x1 und zugleich von a mit b führt nämlich die Gleichung a x + b x1 = 0 nur in sich selbst über und ist darum gleichwie in dieser Prämisse, so auch in deren Konklusionen gestattet.
Wir werden im Verlauf der weiteren Untersuchungen erkennen, dass das Th. 49+) die im Titel des Paragraphen genannten beiden Probleme schon vollständig löst, dass wir nämlich berechtigt sind, das erste Subsumtionenpaar als die „Auflösung“ der Gleichung a x + b x1 = 0 nach der Unbekannten x hinzustellen, und ebenso das zweite Subsum- tionenpaar als deren „Auflösung“ nach der Unbekannten x1 (der Nega- tion der vorigen). Und ferner wird die nebenher mit diesen Subsum- tionenpaaren gegebene Relation a ⋹ b1, oder, was damit nach Th. 37) äquivalent sein muss: b ⋹ a1, oder endlich nach Th. 38×) in symme- trischer Fassung angeschrieben: a b = 0, als die „Resultante“ der Elimination von x (nebst x1) aus der Glei- chung a x + b x1 = 0 zu bezeichnen sein.
Auflösung nebst Resultante fasst die Doppelsubsumtion übersicht- lichst zusammen.
Um alles dies zu erkennen, müssen wir uns aber jetzt in einige Betrachtungen von nicht mehr ganz so einfacher Natur vertiefen; wir müssen namentlich noch mit einer andern Form der „Auflösung“ Be- kanntschaft machen, welche demjenigen, was man in der Mathematik unter der Auflösung, „Wurzel“ einer Gleichung versteht, näher kommt, und, wenn sie auch nicht so bequem, wie die (angeblich) im obigen Theoreme dargestellte, mit Worten zu interpretiren sein wird, doch für die Zwecke der Rechnung gewisse Vorzüge beansprucht.
Als mit einer — wie man später übersehen wird — im Grunde nur neuen Fassung des vorigen Theorems müssen wir uns auch mit dem folgenden Theoreme befreunden.
50+) Theorem. Die Gleichung a x + b x1 = 0 ist äquivalent dem Gleichungenpaare: a b = 0 und x = b u1 + a1u, worin u ein unbestimmtes Gebiet vorstellt.
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§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
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von x mit x1 und zugleich von a mit b führt nämlich die Gleichung
a x + b x1 = 0
nur in sich selbst über und ist darum gleichwie in dieser Prämisse,
so auch in deren Konklusionen gestattet.
Wir werden im Verlauf der weiteren Untersuchungen erkennen,
dass das Th. 49+) die im Titel des Paragraphen genannten beiden
Probleme schon vollständig löst, dass wir nämlich berechtigt sind,
das erste Subsumtionenpaar als die „Auflösung“ der Gleichung
a x + b x1 = 0
nach der Unbekannten x hinzustellen, und ebenso das zweite Subsum-
tionenpaar als deren „Auflösung“ nach der Unbekannten x1 (der Nega-
tion der vorigen). Und ferner wird die nebenher mit diesen Subsum-
tionenpaaren gegebene Relation a ⋹ b1, oder, was damit nach Th. 37)
äquivalent sein muss: b ⋹ a1, oder endlich nach Th. 38×) in symme-
trischer Fassung angeschrieben:
a b = 0,
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chung a x + b x1 = 0 zu bezeichnen sein.
Auflösung nebst Resultante fasst die Doppelsubsumtion übersicht-
lichst zusammen.
Um alles dies zu erkennen, müssen wir uns aber jetzt in einige
Betrachtungen von nicht mehr ganz so einfacher Natur vertiefen; wir
müssen namentlich noch mit einer andern Form der „Auflösung“ Be-
kanntschaft machen, welche demjenigen, was man in der Mathematik
unter der Auflösung, „Wurzel“ einer Gleichung versteht, näher kommt,
und, wenn sie auch nicht so bequem, wie die (angeblich) im obigen
Theoreme dargestellte, mit Worten zu interpretiren sein wird, doch für
die Zwecke der Rechnung gewisse Vorzüge beansprucht.
Als mit einer — wie man später übersehen wird — im Grunde
nur neuen Fassung des vorigen Theorems müssen wir uns auch mit
dem folgenden Theoreme befreunden.
50+) Theorem. Die Gleichung
a x + b x1 = 0
ist äquivalent dem Gleichungenpaare:
a b = 0 und x = b u1 + a1 u,
worin u ein unbestimmtes Gebiet vorstellt.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 447. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/467>, abgerufen am 22.11.2024.
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