Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Eilfte Vorlesung.

§ 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Sub-
sumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen.

Um das Einfachste und Wichtigste vorweg zu erledigen, stellen
wir an die Spitze den Satz:
49₊) Theorem. Die Gleichung
a x + b x₁ = 0
ist äquivalent einer jeden der beiden Doppelsubsumtionen:
b ⋹ x ⋹ a₁ resp. a ⋹ x₁ ⋹ b₁,
d. h. ausführlicher gesprochen, dem Paare von Subsumtionen:
b ⋹ x, x ⋹ a₁ resp. a ⋹ x₁, x₁ ⋹ b₁
mit welchem nebenher dem Prinzip II gemäss gegeben ist:
b ⋹ a₁ sowie a ⋹ b₁.
Allemal ist also die Unbekannte zwischen dem Koeffizienten ihrer Nega-
tion und der Negation ihres Koeffizienten gelegen.

Beweis. Nach Th. 24₊) zerfällt die gegebene Gleichung ohne
Einbusse an Inhalt in die beiden
a x = 0 und b x₁ = 0;
die letztere von diesen ist aber nach Th. 38_×) äquivalent der Subsum-
tion b ⋹ x und die erste äquivalent der x ⋹ a₁, und damit ist die
erste Doppelsubsumtion b ⋹ x ⋹ a₁ nicht nur bewiesen, sondern auch
als mit der gegebnen Gleichung äquivalent erkannt.

Das Th. 38_×) lässt aber auf vorstehende zwei Gleichungen sich
auch noch auf eine zweite Weise anwenden: indem man links, statt
des einen, den andern Faktor isolirt; so ergeben sich auch direkt die
beiden Subsumtionen a ⋹ x₁, x₁ ⋹ b₁ des andern Paares, welche zu
einfacherer Schreibung sich in die zweite Doppelsubsumtion a ⋹ x₁ ⋹ b₁
zusammenziehen lassen.

Überdies folgen aber auch die beiden Subsumtionen des zweiten
Paares durch „Konversion mittelst Kontraposition“ nach Th. 37) —
unter Berücksichtigung von Th. 31) — aus denen des ersten, und ebenso
also auch die eine Doppelsubsumtion aus der andern.

Endlich kann man, nachdem die erste Doppelsubsumtion wie
vorstehend bewiesen, als der Gleichung
a x + b x₁ = 0
üquivalent nachgewiesen ist, die zweite auch durch blosse Buchstaben-