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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Durch Vergleichung dieses Ausdrucks mit dem vom andern, Th. 44+)
gelieferten, ergibt sich nach ihm die interessante Formel:
[Formel 1] .

Dieselbe würde als "zu sich selbst dual" zu bezeichnen sein, wenn
man nur berechtigt wäre die Funktion f (x) sich selber dual ent-
sprechend zu nennen.

Ersetzt man f (1) durch a und f (0) durch b, wo dann a und b
als allgemeine Gebiete werden aufgefasst werden dürfen, so erhält man
jene Formel:
(a + x1) (b + x) = a x + b x1
von Peirce, die wir schon unter k) des § 18 betrachtet haben. --

Gleichwie das Th. 44+) in eventuell wiederholter Anwendung be-
nutzt werden konnte, um eine Funktion f (x, y, z, ...) nach ihren
Argumenten in eine Summe zu entwickeln, so kann dies auch mit
Th. 44x) geschehen behufs Entwickelung ebendieser Funktion in Ge-
stalt eines Produktes. Diese letztere wird dann das duale Gegenstück
der vorigen Entwickelung sein. Z. B. bei zwei Argumenten wird:
[Formel 2] .
Etc. Jene erstere Entwickelung war nach dem mathematischen Sprach-
gebrauch zu bezeichnen als (ein) homogen(er Ausdruck) in Hinsicht jedes
einzelnen sowol, als jeder Gruppe, als auch der Gesamtheit der "Argument-
symbole" (falls in diese wir auch die Negationen der Argumente mit ein-
rechnen); sie war nämlich dadurch gekennzeichnet, dass in jedem Gliede
immer gleichviele der betreffenden Symbole als Faktoren stehen. (Dabei ist
jeder Argumentbuchstabe auch vertreten.)

Analog erscheint diese letztere Entwickelung in einer eigentümlichen,
der homogenen dual entsprechenden Form, die sich dadurch kennzeichnet,
dass jeder Faktor der Zerfällung immer von genannten Argumentsymbolen
gleich viele als Summanden enthält (so zwar, dass in jedem Faktor auch
jeder Argumentbuchstabe entweder in Gestalt des Argumentes selbst oder
in Gestalt von dessen Negation als Glied vertreten ist, und dies im Ganzen
auf jede mögliche Weise).

Lässt man alle in einem Ausdruck f überhaupt vorkommenden
Buchstabensymbole als "Argumente" gelten, und entwickelt nach diesen
gemäss Th. 44+), so wird man eine Zerlegung jenes Ausdrucks f in
seine "letzten Aggreganten" erhalten -- in dem schon § 13 zu Th. 28)
erörterten Sinne, jedoch in der Regel wol mit dem Unterschiede (vom
Ergebniss der dort beschriebenen Prozesse), dass jetzt von den nach
Th. 30+) möglichen Zusammenziehungen von Gliedern, und dem Ein-
gehenlassen überflüssiger Faktoren solcher, kein Gebrauch gemacht ist.

Analog kann man auch das Th. 44x) benutzen, um die Zerfällung

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Durch Vergleichung dieses Ausdrucks mit dem vom andern, Th. 44+)
gelieferten, ergibt sich nach ihm die interessante Formel:
[Formel 1] .

Dieselbe würde als „zu sich selbst dual“ zu bezeichnen sein, wenn
man nur berechtigt wäre die Funktion f (x) sich selber dual ent-
sprechend zu nennen.

Ersetzt man f (1) durch a und f (0) durch b, wo dann a und b
als allgemeine Gebiete werden aufgefasst werden dürfen, so erhält man
jene Formel:
(a + x1) (b + x) = a x + b x1
von Peirce, die wir schon unter ϰ) des § 18 betrachtet haben. —

Gleichwie das Th. 44+) in eventuell wiederholter Anwendung be-
nutzt werden konnte, um eine Funktion f (x, y, z, …) nach ihren
Argumenten in eine Summe zu entwickeln, so kann dies auch mit
Th. 44×) geschehen behufs Entwickelung ebendieser Funktion in Ge-
stalt eines Produktes. Diese letztere wird dann das duale Gegenstück
der vorigen Entwickelung sein. Z. B. bei zwei Argumenten wird:
[Formel 2] .
Etc. Jene erstere Entwickelung war nach dem mathematischen Sprach-
gebrauch zu bezeichnen als (ein) homogen(er Ausdruck) in Hinsicht jedes
einzelnen sowol, als jeder Gruppe, als auch der Gesamtheit der „Argument-
symbole“ (falls in diese wir auch die Negationen der Argumente mit ein-
rechnen); sie war nämlich dadurch gekennzeichnet, dass in jedem Gliede
immer gleichviele der betreffenden Symbole als Faktoren stehen. (Dabei ist
jeder Argumentbuchstabe auch vertreten.)

Analog erscheint diese letztere Entwickelung in einer eigentümlichen,
der homogenen dual entsprechenden Form, die sich dadurch kennzeichnet,
dass jeder Faktor der Zerfällung immer von genannten Argumentsymbolen
gleich viele als Summanden enthält (so zwar, dass in jedem Faktor auch
jeder Argumentbuchstabe entweder in Gestalt des Argumentes selbst oder
in Gestalt von dessen Negation als Glied vertreten ist, und dies im Ganzen
auf jede mögliche Weise).

Lässt man alle in einem Ausdruck f überhaupt vorkommenden
Buchstabensymbole als „Argumente“ gelten, und entwickelt nach diesen
gemäss Th. 44+), so wird man eine Zerlegung jenes Ausdrucks f in
seine „letzten Aggreganten“ erhalten — in dem schon § 13 zu Th. 28)
erörterten Sinne, jedoch in der Regel wol mit dem Unterschiede (vom
Ergebniss der dort beschriebenen Prozesse), dass jetzt von den nach
Th. 30+) möglichen Zusammenziehungen von Gliedern, und dem Ein-
gehenlassen überflüssiger Faktoren solcher, kein Gebrauch gemacht ist.

Analog kann man auch das Th. 44×) benutzen, um die Zerfällung

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[419/0439] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. Durch Vergleichung dieses Ausdrucks mit dem vom andern, Th. 44+) gelieferten, ergibt sich nach ihm die interessante Formel: [FORMEL]. Dieselbe würde als „zu sich selbst dual“ zu bezeichnen sein, wenn man nur berechtigt wäre die Funktion f (x) sich selber dual ent- sprechend zu nennen. Ersetzt man f (1) durch a und f (0) durch b, wo dann a und b als allgemeine Gebiete werden aufgefasst werden dürfen, so erhält man jene Formel: (a + x1) (b + x) = a x + b x1 von Peirce, die wir schon unter ϰ) des § 18 betrachtet haben. — Gleichwie das Th. 44+) in eventuell wiederholter Anwendung be- nutzt werden konnte, um eine Funktion f (x, y, z, …) nach ihren Argumenten in eine Summe zu entwickeln, so kann dies auch mit Th. 44×) geschehen behufs Entwickelung ebendieser Funktion in Ge- stalt eines Produktes. Diese letztere wird dann das duale Gegenstück der vorigen Entwickelung sein. Z. B. bei zwei Argumenten wird: [FORMEL]. Etc. Jene erstere Entwickelung war nach dem mathematischen Sprach- gebrauch zu bezeichnen als (ein) homogen(er Ausdruck) in Hinsicht jedes einzelnen sowol, als jeder Gruppe, als auch der Gesamtheit der „Argument- symbole“ (falls in diese wir auch die Negationen der Argumente mit ein- rechnen); sie war nämlich dadurch gekennzeichnet, dass in jedem Gliede immer gleichviele der betreffenden Symbole als Faktoren stehen. (Dabei ist jeder Argumentbuchstabe auch vertreten.) Analog erscheint diese letztere Entwickelung in einer eigentümlichen, der homogenen dual entsprechenden Form, die sich dadurch kennzeichnet, dass jeder Faktor der Zerfällung immer von genannten Argumentsymbolen gleich viele als Summanden enthält (so zwar, dass in jedem Faktor auch jeder Argumentbuchstabe entweder in Gestalt des Argumentes selbst oder in Gestalt von dessen Negation als Glied vertreten ist, und dies im Ganzen auf jede mögliche Weise). Lässt man alle in einem Ausdruck f überhaupt vorkommenden Buchstabensymbole als „Argumente“ gelten, und entwickelt nach diesen gemäss Th. 44+), so wird man eine Zerlegung jenes Ausdrucks f in seine „letzten Aggreganten“ erhalten — in dem schon § 13 zu Th. 28) erörterten Sinne, jedoch in der Regel wol mit dem Unterschiede (vom Ergebniss der dort beschriebenen Prozesse), dass jetzt von den nach Th. 30+) möglichen Zusammenziehungen von Gliedern, und dem Ein- gehenlassen überflüssiger Faktoren solcher, kein Gebrauch gemacht ist. Analog kann man auch das Th. 44×) benutzen, um die Zerfällung 27*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 419. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/439>, abgerufen am 22.11.2024.