Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zehnte Vorlesung.

schreibenden Gleichungen 43_×) und 43₊) als gleichzeitig geltende in's Auge
fasst, können u und v nicht völlig unabhängig von einander angenommen
werden. Vielmehr, wenn eines von diesen beiden Gebieten (eventuell im
Einklang mit den für dasselbe angeführten Bestimmungen) festgelegt, ge-
geben oder irgendwie angenommen ist, muss das andre die Form haben:

u = a + s v_1,

v = b (u_1 + t),

wo nur mehr s, resp. t willkürlich bleibt.

Auch dieses nachzuweisen ist weiter nichts, als eine hier vorgreifend
angeführte und als Übungsexempel zu empfehlende Anwendung des weiter
unten vorgetragenen Theorems 50₊). Zur Erleichterung von deren Lösung
und um auf dieselbe nicht mehr zurückkommen zu müssen, führen wir hier
nur noch an, dass u resp. v die Gleichung erfüllen muss:

u a_1 v + u_1 a = 0

v b_1 + v_1 b u_1 = 0

welche sich ergibt, indem man den Wert von b oder a aus der einen von
den beiden Gleichungen 43) in die andre substituirt und dann rechts auf
0 bringt, kurz indem man eines der Symbole a, b aus den Gleichungen 43)
eliminirt.

Beispielsweise kann die nach Def. (2) geltende Subsumtion:

0 ⋹ b

a ⋹ 1

nach Th. 43) umgeschrieben werden in eine Gleichung:

0 = u b.

1 = a + v.

Doch sind alsdann u und v augenscheinlich nicht vollkommen willkürlich
und andrerseits sind sie auch nicht vollkommen bestimmt. Es gelten die
Gleichungen (wenn b nicht selbst 0 resp. a nicht selbst 1 ist) nicht für
alle, sondern nur für gewisse Gebiete u, v, aber doch für unendlich viele;
es muss nämlich u, v von der Form sein:

u = w b_1,

v = a_1 + r,

wo w und r arbiträr bleiben. In der That lag hier ein Fall vor, wo
a = 0 resp. b = 1 völlig bestimmt war, wo es „gegeben“ erscheint.

Anmerkung 2. Wir wollen jetzt im Überblick die zwölf Arten
zusammenstellen, auf welche nach den bisherigen Sätzen eine Subsum-
tion a ⋹ b in Gestalt einer einzigen Beziehung (zumeist Gleichung)
angeschrieben werden kann. Die folgenden Aussagen sind einander
äquivalent:
a ⋹ b und nach 37): b₁ ⋹ a₁;
nach 20):
a = a b, b = a + b,
woraus nach 32) und 36) auch folgt:
a₁ = a₁ + b₁, b₁ = a₁ b₁;
nach 38): a b₁ = 0, a₁ + b = 1;