Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>
§ 18. Studien.

u) Dem Anfänger, wie dem Dozenten wird auch die Zusammen-
stellung einer Anzahl rein rechnerischer Übungen willkommen sein, die
wir in mehrere Gruppen verteilen.

Die Aufgaben zielen zumeist auf die Vereinfachung eines ge-
gebenen Ausdruckes hin, und werden wir sie alsdann dadurch dar-
stellen, dass wir den "gegebenen" und den resultirenden vereinfachten
Ausdruck, der zu entdecken gewesen, d. i. den "gesuchten" Ausdruck,
ohne weiteres einander gleich setzen. In andern Fällen handelt es
sich von vornherein nur um den Nachweis der Identität einander gleich
gesetzter Ausdrücke; in manchen auch darum, aus einer gegebenen
Voraussetzung rechnerisch eine angegebene Folgerung zu ziehen.

Allemal machen die Angaben den Anspruch, allgemeingültig zu
sein bei beliebiger Deutung der vorkommenden Buchstabensymbole als
Gebiete oder als Klassen. Jede so ein Problem nebst seinem End-
ergebniss statuirende Angabe bringt mithin ein eigenes Theorem des
identischen Kalkuls zum Ausdruck. Natürlich muss jedoch bei unsrer
beabsichtigten mehr nur miscellenhaften Zusammenstellung solcher
Theoreme auf strenge Systematik und Vollständigkeit Verzicht ge-
leistet werden.

Nur gelegentlich geben wir auch eine Andeutung über die be-
quemste Art der Lösung, und muss der Leser resp. Löser eben die
wichtigsten Sätze des Kalkuls, vor allem die Regeln für's Ausmulti-
pliziren und Ausscheiden, das Tautologie- und das Absorptionsgesetz,
die Theoreme 30), und Zusatz zu 33+), etc. beständig vor Augen haben.

Als Theorem ph) stellen wir die Formel voran:
ph) (a + b) (b + c) (c + a) = a b + b c + c a,
welche dadurch bemerkenswert erscheint, dass sie vollkommen zu sich
selbst dual ist.

Dieselbe kann auch in der Gestalt geschrieben werden:
a (b + c) + b c = (a + b c) (b + c)
und lässt sich analog in der Form:
a (b + c + d ..) + b c d .. = (a + b c d ..) (b + c + d ..)
auch auf beliebig viele Terme a, b, c, d, .. ausdehnen, wo sie dann noch
zu sich selbst dual, aber nicht mehr -- wie bei dreien -- in Bezug
auf alle diese Terme symmetrisch ist.

Für drei Symbole kann man dem Satze auch noch andere zu sich
selbst duale Formen geben, und zwar symmetrisch als:
(a + b c) (b + a c) (c + a b) = a (b + c) + b (a + c) + c (a + b),

§ 18. Studien.

υ) Dem Anfänger, wie dem Dozenten wird auch die Zusammen-
stellung einer Anzahl rein rechnerischer Übungen willkommen sein, die
wir in mehrere Gruppen verteilen.

Die Aufgaben zielen zumeist auf die Vereinfachung eines ge-
gebenen Ausdruckes hin, und werden wir sie alsdann dadurch dar-
stellen, dass wir den „gegebenen“ und den resultirenden vereinfachten
Ausdruck, der zu entdecken gewesen, d. i. den „gesuchten“ Ausdruck,
ohne weiteres einander gleich setzen. In andern Fällen handelt es
sich von vornherein nur um den Nachweis der Identität einander gleich
gesetzter Ausdrücke; in manchen auch darum, aus einer gegebenen
Voraussetzung rechnerisch eine angegebene Folgerung zu ziehen.

Allemal machen die Angaben den Anspruch, allgemeingültig zu
sein bei beliebiger Deutung der vorkommenden Buchstabensymbole als
Gebiete oder als Klassen. Jede so ein Problem nebst seinem End-
ergebniss statuirende Angabe bringt mithin ein eigenes Theorem des
identischen Kalkuls zum Ausdruck. Natürlich muss jedoch bei unsrer
beabsichtigten mehr nur miscellenhaften Zusammenstellung solcher
Theoreme auf strenge Systematik und Vollständigkeit Verzicht ge-
leistet werden.

Nur gelegentlich geben wir auch eine Andeutung über die be-
quemste Art der Lösung, und muss der Leser resp. Löser eben die
wichtigsten Sätze des Kalkuls, vor allem die Regeln für's Ausmulti-
pliziren und Ausscheiden, das Tautologie- und das Absorptionsgesetz,
die Theoreme 30), und Zusatz zu 33+), etc. beständig vor Augen haben.

Als Theorem φ) stellen wir die Formel voran:
φ) (a + b) (b + c) (c + a) = a b + b c + c a,
welche dadurch bemerkenswert erscheint, dass sie vollkommen zu sich
selbst dual ist.

Dieselbe kann auch in der Gestalt geschrieben werden:
a (b + c) + b c = (a + b c) (b + c)
und lässt sich analog in der Form:
a (b + c + d ‥) + b c d ‥ = (a + b c d ‥) (b + c + d ‥)
auch auf beliebig viele Terme a, b, c, d, ‥ ausdehnen, wo sie dann noch
zu sich selbst dual, aber nicht mehr — wie bei dreien — in Bezug
auf alle diese Terme symmetrisch ist.

Für drei Symbole kann man dem Satze auch noch andere zu sich
selbst duale Formen geben, und zwar symmetrisch als:
(a + b c) (b + a c) (c + a b) = a (b + c) + b (a + c) + c (a + b),

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0403" n="383"/>
          <fw place="top" type="header">§ 18. Studien.</fw><lb/>
          <p><hi rendition="#i">&#x03C5;</hi>) Dem Anfänger, wie dem Dozenten wird auch die Zusammen-<lb/>
stellung einer Anzahl <hi rendition="#i">rein rechnerischer</hi> Übungen willkommen sein, die<lb/>
wir in mehrere Gruppen verteilen.</p><lb/>
          <p>Die Aufgaben zielen zumeist auf die Vereinfachung eines ge-<lb/>
gebenen Ausdruckes hin, und werden wir sie alsdann dadurch dar-<lb/>
stellen, dass wir den &#x201E;gegebenen&#x201C; und den resultirenden vereinfachten<lb/>
Ausdruck, der zu entdecken gewesen, d. i. den &#x201E;gesuchten&#x201C; Ausdruck,<lb/>
ohne weiteres einander gleich setzen. In andern Fällen handelt es<lb/>
sich von vornherein nur um den Nachweis der Identität einander gleich<lb/>
gesetzter Ausdrücke; in manchen auch darum, aus einer gegebenen<lb/>
Voraussetzung rechnerisch eine angegebene Folgerung zu ziehen.</p><lb/>
          <p>Allemal machen die Angaben den Anspruch, allgemeingültig zu<lb/>
sein bei beliebiger Deutung der vorkommenden Buchstabensymbole als<lb/>
Gebiete oder als Klassen. Jede so ein Problem nebst seinem End-<lb/>
ergebniss statuirende Angabe bringt mithin ein eigenes Theorem des<lb/>
identischen Kalkuls zum Ausdruck. Natürlich muss jedoch bei unsrer<lb/>
beabsichtigten mehr nur miscellenhaften Zusammenstellung solcher<lb/>
Theoreme auf strenge Systematik und Vollständigkeit Verzicht ge-<lb/>
leistet werden.</p><lb/>
          <p>Nur gelegentlich geben wir auch eine Andeutung über die be-<lb/>
quemste Art der Lösung, und muss der Leser resp. Löser eben die<lb/>
wichtigsten Sätze des Kalkuls, vor allem die Regeln für's Ausmulti-<lb/>
pliziren und Ausscheiden, das Tautologie- und das Absorptionsgesetz,<lb/>
die Theoreme 30), und Zusatz zu 33<hi rendition="#sub">+</hi>), etc. beständig vor Augen haben.</p><lb/>
          <p>Als <hi rendition="#g">Theorem</hi> <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi>) stellen wir die Formel voran:<lb/><hi rendition="#i">&#x03C6;</hi>) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>) = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">c a</hi>,</hi><lb/>
welche dadurch bemerkenswert erscheint, dass sie <hi rendition="#i">vollkommen zu sich<lb/>
selbst dual</hi> ist.</p><lb/>
          <p>Dieselbe kann auch in der Gestalt geschrieben werden:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) + <hi rendition="#i">b c</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>)</hi><lb/>
und lässt sich analog in der Form:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">d</hi> &#x2025;) + <hi rendition="#i">b c d</hi> &#x2025; = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b c d</hi> &#x2025;) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">d</hi> &#x2025;)</hi><lb/>
auch auf beliebig viele Terme <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi>, &#x2025; ausdehnen, wo sie dann noch<lb/>
zu sich selbst dual, aber nicht mehr &#x2014; wie bei dreien &#x2014; in Bezug<lb/>
auf <hi rendition="#i">alle</hi> diese Terme symmetrisch ist.</p><lb/>
          <p>Für drei Symbole kann man dem Satze auch noch andere zu sich<lb/>
selbst duale Formen geben, und zwar symmetrisch als:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a c</hi>) (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) + <hi rendition="#i">b</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[383/0403] § 18. Studien. υ) Dem Anfänger, wie dem Dozenten wird auch die Zusammen- stellung einer Anzahl rein rechnerischer Übungen willkommen sein, die wir in mehrere Gruppen verteilen. Die Aufgaben zielen zumeist auf die Vereinfachung eines ge- gebenen Ausdruckes hin, und werden wir sie alsdann dadurch dar- stellen, dass wir den „gegebenen“ und den resultirenden vereinfachten Ausdruck, der zu entdecken gewesen, d. i. den „gesuchten“ Ausdruck, ohne weiteres einander gleich setzen. In andern Fällen handelt es sich von vornherein nur um den Nachweis der Identität einander gleich gesetzter Ausdrücke; in manchen auch darum, aus einer gegebenen Voraussetzung rechnerisch eine angegebene Folgerung zu ziehen. Allemal machen die Angaben den Anspruch, allgemeingültig zu sein bei beliebiger Deutung der vorkommenden Buchstabensymbole als Gebiete oder als Klassen. Jede so ein Problem nebst seinem End- ergebniss statuirende Angabe bringt mithin ein eigenes Theorem des identischen Kalkuls zum Ausdruck. Natürlich muss jedoch bei unsrer beabsichtigten mehr nur miscellenhaften Zusammenstellung solcher Theoreme auf strenge Systematik und Vollständigkeit Verzicht ge- leistet werden. Nur gelegentlich geben wir auch eine Andeutung über die be- quemste Art der Lösung, und muss der Leser resp. Löser eben die wichtigsten Sätze des Kalkuls, vor allem die Regeln für's Ausmulti- pliziren und Ausscheiden, das Tautologie- und das Absorptionsgesetz, die Theoreme 30), und Zusatz zu 33+), etc. beständig vor Augen haben. Als Theorem φ) stellen wir die Formel voran: φ) (a + b) (b + c) (c + a) = a b + b c + c a, welche dadurch bemerkenswert erscheint, dass sie vollkommen zu sich selbst dual ist. Dieselbe kann auch in der Gestalt geschrieben werden: a (b + c) + b c = (a + b c) (b + c) und lässt sich analog in der Form: a (b + c + d ‥) + b c d ‥ = (a + b c d ‥) (b + c + d ‥) auch auf beliebig viele Terme a, b, c, d, ‥ ausdehnen, wo sie dann noch zu sich selbst dual, aber nicht mehr — wie bei dreien — in Bezug auf alle diese Terme symmetrisch ist. Für drei Symbole kann man dem Satze auch noch andere zu sich selbst duale Formen geben, und zwar symmetrisch als: (a + b c) (b + a c) (c + a b) = a (b + c) + b (a + c) + c (a + b),

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/403
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 383. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/403>, abgerufen am 25.11.2024.