gleich ist, ist entweder nicht adelig, oder nicht Grundbesitzer [oder auch beides zugleich nicht, cf. § 8, th)].
Was nicht "ausländisch oder billig" ist, muss nicht ausländisch (ev. inländisch) und zugleich nicht billig (ev. teuer) sein.
Hier ist wieder an eine Eigenheit der Wortsprache zu erinnern. Die Subsumtion ca1b1 heisst: "Jedes c ist nicht a und (zugleich) nicht b", wofür man auch den Ausdruck wählen kann: "Jedes c ist weder a noch b" -- sogenanntes "verneinendes konjunktives" Urteil. Man kann sich auch noch anders ausdrücken und beispielsweise sagen: "(Jeder Fisch) Ein Fisch ist kein Vogel und kein Säugetier".
Schlägt man aber in solchem Falle den verneinenden Artikel zum Subjekte (anstatt, wie soeben, zum Prädikate), so muss das Mal-Zeichen im Prädikate, statt wie vorhin mit "und", nun mit "oder" übersetzt werden: "Kein Fisch ist ein Vogel oder ein Säugetier" -- vergl. § 8, l, m), S. 232. Wogegen der Satz: "Kein Fisch ist (ein) Vogel und (ein) Säugetier" nur bedeuten würde: c (a b)1, das heisst: ca1 + b1. --
Dem gegenüber würde das sog. "verneinende kopulative" Urteil: "Weder die a noch die b sind c" (= Sowol die a als auch die b sind nicht c) in Formeln einfach durch: a + bc1 darzustellen sein. Und analog für mehr als zwei Terme.
Für Gebiete werden (im Hinblick auf Fig. 16) die Theoreme 36) veranschaulicht durch Fig. 17.
Zusatz 1. Die Ausdehnung der Theoreme 36) auf beliebig viele Terme (Operationsglieder, Faktoren oder Summanden) ist naheliegend. So ist auch:
(a b c)1 = a1 + b1 + c1
(a + b + c)1 = a1b1c1,
denn: (a b c)1 = {(a b) · c}1 = (a b)1 + c1 = (a1 + b1) + c1 = a1 + b1 + c1, etc.
Anmerkung zu Th. 36). Wendet man die Formeln 36) auf a1 und b1 statt a und b an, so ergibt sich nach 31):
(a1b1)1 = a + b
(a1 + b1)1 = a b.
Diese Formeln zeigen (wie Peirce bemerkt), dass mit Hülfe der dritten Spezies, der Negation, von den beiden ersten Spezies -- d. i. von den direkten Rechnungsarten des identischen Kalkuls: Multiplikation und Addi- tion -- irgend eine, gleichviel welche, entbehrlich gemacht werden könnte.
Wollte man mit Negation und Multiplikation allein auskommen, so brauchte man nur überall, wo eine Summe a + b auftritt, für diese
[Formel 1]
zu schreiben. Mit Addition und Negation würde man ausreichen, indem man für jedes Produkt a b konsequent sagte
[Formel 2]
-- falls wir hier einmal den wagerechten Negationsstrich benutzen. [Ebenso liesse
Schröder, Algebra der Logik. 23
§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen.
gleich ist, ist entweder nicht adelig, oder nicht Grundbesitzer [oder auch beides zugleich nicht, cf. § 8, ϑ)].
Was nicht „ausländisch oder billig“ ist, muss nicht ausländisch (ev. inländisch) und zugleich nicht billig (ev. teuer) sein.
Hier ist wieder an eine Eigenheit der Wortsprache zu erinnern. Die Subsumtion c ⋹ a1b1 heisst: „Jedes c ist nicht a und (zugleich) nicht b“, wofür man auch den Ausdruck wählen kann: „Jedes c ist weder a noch b“ — sogenanntes „verneinendes konjunktives“ Urteil. Man kann sich auch noch anders ausdrücken und beispielsweise sagen: „(Jeder Fisch) Ein Fisch ist kein Vogel und kein Säugetier“.
Schlägt man aber in solchem Falle den verneinenden Artikel zum Subjekte (anstatt, wie soeben, zum Prädikate), so muss das Mal-Zeichen im Prädikate, statt wie vorhin mit „und“, nun mit „oder“ übersetzt werden: „Kein Fisch ist ein Vogel oder ein Säugetier“ — vergl. § 8, λ, μ), S. 232. Wogegen der Satz: „Kein Fisch ist (ein) Vogel und (ein) Säugetier“ nur bedeuten würde: c ⋹ (a b)1, das heisst: c ⋹ a1 + b1. —
Dem gegenüber würde das sog. „verneinende kopulative“ Urteil: „Weder die a noch die b sind c“ (= Sowol die a als auch die b sind nicht c) in Formeln einfach durch: a + b ⋹ c1 darzustellen sein. Und analog für mehr als zwei Terme.
Für Gebiete werden (im Hinblick auf Fig. 16) die Theoreme 36) veranschaulicht durch Fig. 17.
Zusatz 1. Die Ausdehnung der Theoreme 36) auf beliebig viele Terme (Operationsglieder, Faktoren oder Summanden) ist naheliegend. So ist auch:
(a b c)1 = a1 + b1 + c1
(a + b + c)1 = a1b1c1,
denn: (a b c)1 = {(a b) · c}1 = (a b)1 + c1 = (a1 + b1) + c1 = a1 + b1 + c1, etc.
Anmerkung zu Th. 36). Wendet man die Formeln 36) auf a1 und b1 statt a und b an, so ergibt sich nach 31):
(a1b1)1 = a + b
(a1 + b1)1 = a b.
Diese Formeln zeigen (wie Peirce bemerkt), dass mit Hülfe der dritten Spezies, der Negation, von den beiden ersten Spezies — d. i. von den direkten Rechnungsarten des identischen Kalkuls: Multiplikation und Addi- tion — irgend eine, gleichviel welche, entbehrlich gemacht werden könnte.
Wollte man mit Negation und Multiplikation allein auskommen, so brauchte man nur überall, wo eine Summe a + b auftritt, für diese
[Formel 1]
zu schreiben. Mit Addition und Negation würde man ausreichen, indem man für jedes Produkt a b konsequent sagte
[Formel 2]
— falls wir hier einmal den wagerechten Negationsstrich benutzen. [Ebenso liesse
Schröder, Algebra der Logik. 23
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[353/0373]
§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen.
gleich ist, ist entweder nicht adelig, oder nicht Grundbesitzer [oder
auch beides zugleich nicht, cf. § 8, ϑ)].
Was nicht „ausländisch oder billig“ ist, muss nicht ausländisch
(ev. inländisch) und zugleich nicht billig (ev. teuer) sein.
Hier ist wieder an eine Eigenheit der Wortsprache zu erinnern. Die
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wofür man auch den Ausdruck wählen kann: „Jedes c ist weder a noch b“
— sogenanntes „verneinendes konjunktives“ Urteil. Man kann sich auch
noch anders ausdrücken und beispielsweise sagen: „(Jeder Fisch) Ein Fisch
ist kein Vogel und kein Säugetier“.
Schlägt man aber in solchem Falle den verneinenden Artikel zum
Subjekte (anstatt, wie soeben, zum Prädikate), so muss das Mal-Zeichen
im Prädikate, statt wie vorhin mit „und“, nun mit „oder“ übersetzt werden:
„Kein Fisch ist ein Vogel oder ein Säugetier“ — vergl. § 8, λ, μ), S. 232.
Wogegen der Satz: „Kein Fisch ist (ein) Vogel und (ein) Säugetier“ nur
bedeuten würde: c ⋹ (a b)1, das heisst: c ⋹ a1 + b1. —
Dem gegenüber würde das sog. „verneinende kopulative“ Urteil: „Weder
die a noch die b sind c“ (= Sowol die a als auch die b sind nicht c) in
Formeln einfach durch: a + b ⋹ c1 darzustellen sein. Und analog für mehr
als zwei Terme.
Für Gebiete werden (im Hinblick auf Fig. 16) die Theoreme 36)
veranschaulicht durch Fig. 17.
Zusatz 1. Die Ausdehnung der Theoreme 36) auf beliebig viele
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So ist auch:
(a b c)1 = a1 + b1 + c1 (a + b + c)1 = a1 b1 c1,
denn:
(a b c)1 = {(a b) · c}1 = (a b)1 + c1 = (a1 + b1) + c1 = a1 + b1 + c1, etc.
Anmerkung zu Th. 36). Wendet man die Formeln 36) auf a1
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Diese Formeln zeigen (wie Peirce bemerkt), dass mit Hülfe der
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Wollte man mit Negation und Multiplikation allein auskommen,
so brauchte man nur überall, wo eine Summe a + b auftritt, für diese
[FORMEL] zu schreiben. Mit Addition und Negation würde man ausreichen,
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Schröder, Algebra der Logik. 23
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 353. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/373>, abgerufen am 16.02.2025.
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