Es mögen mit G@ die mehrerwähnten formalen "Grundlagen" des identischen Kalkuls bezeichnet werden, bestehend aus den bis- herigen Definitionen (1), (2), (3), (6), und den hier als "Prinzipien" bezeichneten Axiomen I, II -- unter Zuzug des als ebenfalls gültig nach- gewiesenen dualen Gegenstückes III+ (oder III) zu IIIx (oder III).
Wie wir gesehen, haben dann diese Grundlagen G die Eigenschaft, wiederum in sich selbst nur überzugehen, d. h. ungeändert zu bleiben, wenn man im obigen Sinne die Zeichen und durchweg ver- tauscht, und wurde dieser Umstand dadurch sichtbar gemacht, dass wir dem G das Suffixum @ erteilten, welches die gleiche Eigenschaft in sich zu erkennen gibt.
Durch diese Grundlagen G@ ist nun erwiesenermassen eine Gruppe von Folgerungen denknotwendig mitbedingt, z. B. die direkt bewiesenen Theoreme in der Kolumne zur Linken des Mittelstriches enthaltend, welche F genannt werden möge. Dieser notwendige Zusammenhang: "Es gilt G@, also auch F" muss a priori bestehen bleiben, wenn man die Zeichen und ver- tauscht. Dadurch gelangen wir aber zu dem Satze: "Es gilt G@, also auch F", durch welchen die ganze Gruppe F der den vorigen F dual ent- sprechenden Sätze, darunter alle die in der Spalte rechts vom Mittel- strich befindlichen, mit einem Schlage bewiesen erscheint.
Hieraus erhellen auch die Vorteile des Dualismus und seiner Be- achtung.
Die durchgängige Symmetrie erleichtert schon das Behalten der Sätze, wie denn auf zwei Säulen ein Bau fester ruht, als auf einer.
Man kann aber den Dualismus auch in der That benutzen als ein wirksames Prinzip um sich die Herleitung und Begründung von nahe der Hälfte aller künftigen Sätze zu ersparen. Neben der kleinen Minderzahl sich selbst dual entsprechender Sätze genügt es fortan, nur die in der einen Spalte stehenden selbständig abzuleiten, woraus die fehlenden in der andern Spalte fast mühelos abzuschreiben sind, und man sich auf deren Gültigkeit wird ohne weiteres verlassen kön- nen. Ja bei jedem Paar einander dual entsprechenden Sätze hat man die Wahl, ob man nur den linksseitigen oder nur den rechtseitigen wirklich beweisen will.
Beispielsweise müssen darum auch Geltung haben die sämtlichen
§ 14. Der Dualismus.
Es mögen mit G die mehrerwähnten formalen „Grundlagen“ des identischen Kalkuls bezeichnet werden, bestehend aus den bis- herigen Definitionen (1), (2), (3), (6), und den hier als „Prinzipien“ bezeichneten Axiomen I, II — unter Zuzug des als ebenfalls gültig nach- gewiesenen dualen Gegenstückes III+ (oder III⊃) zu III× (oder III⊂).
Wie wir gesehen, haben dann diese Grundlagen G die Eigenschaft, wiederum in sich selbst nur überzugehen, d. h. ungeändert zu bleiben, wenn man im obigen Sinne die Zeichen ⊂ und ⊃ durchweg ver- tauscht, und wurde dieser Umstand dadurch sichtbar gemacht, dass wir dem G das Suffixum  erteilten, welches die gleiche Eigenschaft in sich zu erkennen gibt.
Durch diese Grundlagen G ist nun erwiesenermassen eine Gruppe von Folgerungen denknotwendig mitbedingt, z. B. die direkt bewiesenen Theoreme in der Kolumne zur Linken des Mittelstriches enthaltend, welche F⊂ genannt werden möge. Dieser notwendige Zusammenhang: „Es gilt G, also auch F⊂“ muss a priori bestehen bleiben, wenn man die Zeichen ⊂ und ⊃ ver- tauscht. Dadurch gelangen wir aber zu dem Satze: „Es gilt G, also auch F⊃“, durch welchen die ganze Gruppe F⊃ der den vorigen F⊂ dual ent- sprechenden Sätze, darunter alle die in der Spalte rechts vom Mittel- strich befindlichen, mit einem Schlage bewiesen erscheint.
Hieraus erhellen auch die Vorteile des Dualismus und seiner Be- achtung.
Die durchgängige Symmetrie erleichtert schon das Behalten der Sätze, wie denn auf zwei Säulen ein Bau fester ruht, als auf einer.
Man kann aber den Dualismus auch in der That benutzen als ein wirksames Prinzip um sich die Herleitung und Begründung von nahe der Hälfte aller künftigen Sätze zu ersparen. Neben der kleinen Minderzahl sich selbst dual entsprechender Sätze genügt es fortan, nur die in der einen Spalte stehenden selbständig abzuleiten, woraus die fehlenden in der andern Spalte fast mühelos abzuschreiben sind, und man sich auf deren Gültigkeit wird ohne weiteres verlassen kön- nen. Ja bei jedem Paar einander dual entsprechenden Sätze hat man die Wahl, ob man nur den linksseitigen oder nur den rechtseitigen wirklich beweisen will.
Beispielsweise müssen darum auch Geltung haben die sämtlichen
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§ 14. Der Dualismus.
Es mögen mit G die mehrerwähnten formalen „Grundlagen“
des identischen Kalkuls bezeichnet werden, bestehend aus den bis-
herigen Definitionen (1), (2), (3), (6), und den hier als „Prinzipien“
bezeichneten Axiomen I, II — unter Zuzug des als ebenfalls gültig nach-
gewiesenen dualen Gegenstückes III+ (oder III⊃) zu III× (oder III⊂).
Wie wir gesehen, haben dann diese Grundlagen G die Eigenschaft,
wiederum in sich selbst nur überzugehen, d. h. ungeändert zu bleiben,
wenn man im obigen Sinne die Zeichen ⊂ und ⊃ durchweg ver-
tauscht, und wurde dieser Umstand dadurch sichtbar gemacht, dass
wir dem G das Suffixum  erteilten, welches die gleiche Eigenschaft
in sich zu erkennen gibt.
Durch diese Grundlagen G ist nun erwiesenermassen eine Gruppe
von Folgerungen denknotwendig mitbedingt, z. B. die direkt bewiesenen
Theoreme in der Kolumne zur Linken des Mittelstriches enthaltend,
welche F⊂ genannt werden möge. Dieser notwendige Zusammenhang:
„Es gilt G, also auch F⊂“
muss a priori bestehen bleiben, wenn man die Zeichen ⊂ und ⊃ ver-
tauscht. Dadurch gelangen wir aber zu dem Satze:
„Es gilt G, also auch F⊃“,
durch welchen die ganze Gruppe F⊃ der den vorigen F⊂ dual ent-
sprechenden Sätze, darunter alle die in der Spalte rechts vom Mittel-
strich befindlichen, mit einem Schlage bewiesen erscheint.
Hieraus erhellen auch die Vorteile des Dualismus und seiner Be-
achtung.
Die durchgängige Symmetrie erleichtert schon das Behalten der
Sätze, wie denn auf zwei Säulen ein Bau fester ruht, als auf einer.
Man kann aber den Dualismus auch in der That benutzen als ein
wirksames Prinzip um sich die Herleitung und Begründung von nahe
der Hälfte aller künftigen Sätze zu ersparen. Neben der kleinen
Minderzahl sich selbst dual entsprechender Sätze genügt es fortan,
nur die in der einen Spalte stehenden selbständig abzuleiten, woraus
die fehlenden in der andern Spalte fast mühelos abzuschreiben sind,
und man sich auf deren Gültigkeit wird ohne weiteres verlassen kön-
nen. Ja bei jedem Paar einander dual entsprechenden Sätze hat man
die Wahl, ob man nur den linksseitigen oder nur den rechtseitigen
wirklich beweisen will.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 317. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/337>, abgerufen am 27.11.2024.
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