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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Siebente Vorlesung.
wieder einen gültigen Satz, eine richtige Formel erhalten, die von den
ursprünglichen in der Regel, doch nicht notwendig verschieden.

Anstatt die Zeichen und @ der Einordnung und Überdeckung,
oder das "Sub"- und das "Supersumtionszeichen" miteinander zu vertau-
schen, konnte man auch ein jedes derselben, z. B. das erste festhalten,
wofern man nur alsdann die beiden Seiten der Subsumtion, das Subjekt
und Prädikat jeweils vertauschte. In der That: aus a b entsteht durch
Vertauschung des im Subsumtionszeichen enthaltenen Bogens der Unter-
ordnung mit dem der Überordnung ersichtlich: a @ b, und durch Ver-
tauschung von major und minor entsteht: b a, was genau dasselbe sagt
-- [aber freilich etwas ganz anderes als die ursprüngliche Subsumtion
a b. Diese, wenn für sich allein hingestellt, gilt auch in der That nicht
als allgemeine Formel, mithin beansprucht der Satz 35) auch nicht, auf
sie anwendbar zu sein. Erst da, wo eine solche Subsumtion von andern
Relationen abhängig gemacht ist, kann er mit auf sie anwendbar werden,
desgleichen auch in solchen besondern Fällen, wie a a, wo eben die
Subsumtion den Charakter einer Formel annimmt].

Prinzip I a a gibt insbesondre a @ a; dasselbe geht also auf ge-
nannte Weise in sich selbst über.

Aus Prinzip II, welches aussagt: "Wenn a b und b c so ist
a c" erhalten wir auf die eine Art: "Wenn a @ b und b @ c, so ist
a @ c", auf die andre: "Wenn b a und c b, so ist c a" beides
aber ist richtig und deckt sich mit Prinzip II selber.

Man revidire schliesslich, dass durch das angegebene Verfahren die
beiden Definitionen (2x) und (2+) ebenso (3x) und (3+) zu tauschen kom-
men, wogegen die Def. (1) der Gleichheit und die (6) der Negation nur
in sich selbst übergeht.

Ersetzten wir die Gebietsymbole 1 und 0 etwa durch 1 resp. 1
und die Operationssymbole · und + durch x resp. x [desgleichen
die Chiffrirungssuffixa x und + durch und ], so könnten wir
dem Prinzip des Dualismus den einfacheren Ausdruck geben: In allen
Theoremen des Kalkuls darf man die Zeichen und durchweg ver-
tauschen.

Führt nämlich von den Grundlagen eine Denknotwendigkeit zu
gewissen Folgerungen hin, so muss diese Notwendigkeit bestehen un-
abhängig von der Materie des Denkens und deren Bezeichnung. Also
auch wenn man das mit Ausgedrückte mit dargestellt hätte,
müsste sie fortbestehen. Dann würden aber die Grundlagen dieselben
geworden sein, und statt der vorigen hätte man wol grossenteils neue
Folgerungen erhalten -- die dualen Gegenstücke der letzteren -- so-
nach müssen denn auch diese gelten.

Wir wollen die Berechtigung zu diesem Schlusse noch etwas
übersichtlicher darlegen.

Siebente Vorlesung.
wieder einen gültigen Satz, eine richtige Formel erhalten, die von den
ursprünglichen in der Regel, doch nicht notwendig verschieden.

Anstatt die Zeichen ⋹ und  der Einordnung und Überdeckung,
oder das „Sub“- und das „Supersumtionszeichen“ miteinander zu vertau-
schen, konnte man auch ein jedes derselben, z. B. das erste ⋹ festhalten,
wofern man nur alsdann die beiden Seiten der Subsumtion, das Subjekt
und Prädikat jeweils vertauschte. In der That: aus a ⋹ b entsteht durch
Vertauschung des im Subsumtionszeichen enthaltenen Bogens ⊂ der Unter-
ordnung mit dem ⊃ der Überordnung ersichtlich: a  b, und durch Ver-
tauschung von major und minor entsteht: b ⋹ a, was genau dasselbe sagt
— [aber freilich etwas ganz anderes als die ursprüngliche Subsumtion
a ⋹ b. Diese, wenn für sich allein hingestellt, gilt auch in der That nicht
als allgemeine Formel, mithin beansprucht der Satz 35) auch nicht, auf
sie anwendbar zu sein. Erst da, wo eine solche Subsumtion von andern
Relationen abhängig gemacht ist, kann er mit auf sie anwendbar werden,
desgleichen auch in solchen besondern Fällen, wie a ⋹ a, wo eben die
Subsumtion den Charakter einer Formel annimmt].

Prinzip I a ⋹ a gibt insbesondre a  a; dasselbe geht also auf ge-
nannte Weise in sich selbst über.

Aus Prinzip II, welches aussagt: „Wenn a ⋹ b und b ⋹ c so ist
a ⋹ c“ erhalten wir auf die eine Art: „Wenn a  b und b  c, so ist
a  c“, auf die andre: „Wenn b ⋹ a und c ⋹ b, so ist c ⋹ a“ beides
aber ist richtig und deckt sich mit Prinzip II selber.

Man revidire schliesslich, dass durch das angegebene Verfahren die
beiden Definitionen (2×) und (2+) ebenso (3×) und (3+) zu tauschen kom-
men, wogegen die Def. (1) der Gleichheit und die (6) der Negation nur
in sich selbst übergeht.

Ersetzten wir die Gebietsymbole 1 und 0 etwa durch 1⊂ resp. 1⊃
und die Operationssymbole · und + durch ×⊂ resp. ×⊃ [desgleichen
die Chiffrirungssuffixa × und + durch ⊂ und ⊃], so könnten wir
dem Prinzip des Dualismus den einfacheren Ausdruck geben: In allen
Theoremen des Kalkuls darf man die Zeichen ⊂ und ⊃ durchweg ver-
tauschen.

Führt nämlich von den Grundlagen eine Denknotwendigkeit zu
gewissen Folgerungen hin, so muss diese Notwendigkeit bestehen un-
abhängig von der Materie des Denkens und deren Bezeichnung. Also
auch wenn man das mit ⊂ Ausgedrückte mit ⊃ dargestellt hätte,
müsste sie fortbestehen. Dann würden aber die Grundlagen dieselben
geworden sein, und statt der vorigen hätte man wol grossenteils neue
Folgerungen erhalten — die dualen Gegenstücke der letzteren — so-
nach müssen denn auch diese gelten.

Wir wollen die Berechtigung zu diesem Schlusse noch etwas
übersichtlicher darlegen.

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[316/0336] Siebente Vorlesung. wieder einen gültigen Satz, eine richtige Formel erhalten, die von den ursprünglichen in der Regel, doch nicht notwendig verschieden. Anstatt die Zeichen ⋹ und  der Einordnung und Überdeckung, oder das „Sub“- und das „Supersumtionszeichen“ miteinander zu vertau- schen, konnte man auch ein jedes derselben, z. B. das erste ⋹ festhalten, wofern man nur alsdann die beiden Seiten der Subsumtion, das Subjekt und Prädikat jeweils vertauschte. In der That: aus a ⋹ b entsteht durch Vertauschung des im Subsumtionszeichen enthaltenen Bogens ⊂ der Unter- ordnung mit dem ⊃ der Überordnung ersichtlich: a  b, und durch Ver- tauschung von major und minor entsteht: b ⋹ a, was genau dasselbe sagt — [aber freilich etwas ganz anderes als die ursprüngliche Subsumtion a ⋹ b. Diese, wenn für sich allein hingestellt, gilt auch in der That nicht als allgemeine Formel, mithin beansprucht der Satz 35) auch nicht, auf sie anwendbar zu sein. Erst da, wo eine solche Subsumtion von andern Relationen abhängig gemacht ist, kann er mit auf sie anwendbar werden, desgleichen auch in solchen besondern Fällen, wie a ⋹ a, wo eben die Subsumtion den Charakter einer Formel annimmt]. Prinzip I a ⋹ a gibt insbesondre a  a; dasselbe geht also auf ge- nannte Weise in sich selbst über. Aus Prinzip II, welches aussagt: „Wenn a ⋹ b und b ⋹ c so ist a ⋹ c“ erhalten wir auf die eine Art: „Wenn a  b und b  c, so ist a  c“, auf die andre: „Wenn b ⋹ a und c ⋹ b, so ist c ⋹ a“ beides aber ist richtig und deckt sich mit Prinzip II selber. Man revidire schliesslich, dass durch das angegebene Verfahren die beiden Definitionen (2×) und (2+) ebenso (3×) und (3+) zu tauschen kom- men, wogegen die Def. (1) der Gleichheit und die (6) der Negation nur in sich selbst übergeht. Ersetzten wir die Gebietsymbole 1 und 0 etwa durch 1⊂ resp. 1⊃ und die Operationssymbole · und + durch ×⊂ resp. ×⊃ [desgleichen die Chiffrirungssuffixa × und + durch ⊂ und ⊃], so könnten wir dem Prinzip des Dualismus den einfacheren Ausdruck geben: In allen Theoremen des Kalkuls darf man die Zeichen ⊂ und ⊃ durchweg ver- tauschen. Führt nämlich von den Grundlagen eine Denknotwendigkeit zu gewissen Folgerungen hin, so muss diese Notwendigkeit bestehen un- abhängig von der Materie des Denkens und deren Bezeichnung. Also auch wenn man das mit ⊂ Ausgedrückte mit ⊃ dargestellt hätte, müsste sie fortbestehen. Dann würden aber die Grundlagen dieselben geworden sein, und statt der vorigen hätte man wol grossenteils neue Folgerungen erhalten — die dualen Gegenstücke der letzteren — so- nach müssen denn auch diese gelten. Wir wollen die Berechtigung zu diesem Schlusse noch etwas übersichtlicher darlegen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 316. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/336>, abgerufen am 11.12.2024.