33+) Theorem. Es ist allgemein: a + b = a b + a b1 + a1b.
Beweis. Wir haben: a + b = a · 1 + 1 · b = a (b + b1) + (a + a1) b = (a b + a b1) + (a b + a1b) = a b + a b1 + a1b, mit Rücksicht auf die Sätze 21x), 30+), 30x) und IIIx (sogar schon IIIx0), endlich 14+) -- nicht zu gedenken der Theoreme 16), 12+) und 13+) Zusätze. Man darf nämlich den Faktor 1 hinzusetzen, für 1 nach Belieben b + b1 oder a + a1 substituiren (da diese Terme der 1 gleich sind), sodann ausmultipliziren, weil hier die Summanden disjunkte sind, endlich die Additionsklammern weglassen, und die Wiederholung des Summanden a b als tautologisch unterlassen.
Zusatz zu Th. 33+). Für beliebige a, b ist auch: a + b = a + a1b = a b1 + b, d. h. Eine Summe bleibt ungeändert, wenn man einen Summanden mul- tiplizirt mit der Negation eines andern, und umgekehrt: so oft in einem Glied einer Summe ein Faktor steht, der als die Negation eines andern Glieds derselben erscheint, darf man diesen Faktor unterdrücken.
Beweis. Es ist ähnlich wie oben: a + b = a · 1 + b = a (b + b1) + b = (a b + a b1) + b = a b1 + (a b + b) = a b1 + b mit Rücksicht, ferner, auf das Absorptionsgesetz 23x). Und analog wenn b und a vertauscht werden. Dies ist der selbständige Beweis des für die Technik des Kalkuls ungemein wichtigen Zusatzes. Am schnellsten ergibt sich derselbe aus der Formel 33+) durch Vereinigung des ersten Terms rechterhand mit dem zweiten oder dritten gemäss 27+), 30+) und 21x).
Durch Anwendung vorstehender Sätze kann eine binomische Summe jederzeit in eine "reduzirte" verwandelt werden. Es ist ratsam, sich dieselben einzuprägen. Ihre Veranschaulichung geben wir unter dem nächsten Satze.
34+) Theorem. Was auch a und b für Gebiete vorstellen mögen, so ist: 1 = a b + a b1 + a1b + a1b1.
Beweis. Man hat in der bisherigen Weise: 1 = a + a1 = a · 1 + a1 · 1 = a (b + b1) + a1 (b + b1) = a b + a b1 + a1b + a1b1 unter Berufung auf IIIx [oder auch nur IIIx0]. --
Sind a und b z. B. Kreisflächen, so entsprechen den Gliedern rechterhand in 34+) die vier Teile, in welche von den Konturen dieser
Siebente Vorlesung.
33+) Theorem. Es ist allgemein: a + b = a b + a b1 + a1b.
Beweis. Wir haben: a + b = a · 1 + 1 · b = a (b + b1) + (a + a1) b = (a b + a b1) + (a b + a1b) = a b + a b1 + a1b, mit Rücksicht auf die Sätze 21×), 30+), 30×) und III× (sogar schon III×0), endlich 14+) — nicht zu gedenken der Theoreme 16), 12+) und 13+) Zusätze. Man darf nämlich den Faktor 1 hinzusetzen, für 1 nach Belieben b + b1 oder a + a1 substituiren (da diese Terme der 1 gleich sind), sodann ausmultipliziren, weil hier die Summanden disjunkte sind, endlich die Additionsklammern weglassen, und die Wiederholung des Summanden a b als tautologisch unterlassen.
Zusatz zu Th. 33+). Für beliebige a, b ist auch: a + b = a + a1b = a b1 + b, d. h. Eine Summe bleibt ungeändert, wenn man einen Summanden mul- tiplizirt mit der Negation eines andern, und umgekehrt: so oft in einem Glied einer Summe ein Faktor steht, der als die Negation eines andern Glieds derselben erscheint, darf man diesen Faktor unterdrücken.
Beweis. Es ist ähnlich wie oben: a + b = a · 1 + b = a (b + b1) + b = (a b + a b1) + b = a b1 + (a b + b) = a b1 + b mit Rücksicht, ferner, auf das Absorptionsgesetz 23×). Und analog wenn b und a vertauscht werden. Dies ist der selbständige Beweis des für die Technik des Kalkuls ungemein wichtigen Zusatzes. Am schnellsten ergibt sich derselbe aus der Formel 33+) durch Vereinigung des ersten Terms rechterhand mit dem zweiten oder dritten gemäss 27+), 30+) und 21×).
Durch Anwendung vorstehender Sätze kann eine binomische Summe jederzeit in eine „reduzirte“ verwandelt werden. Es ist ratsam, sich dieselben einzuprägen. Ihre Veranschaulichung geben wir unter dem nächsten Satze.
34+) Theorem. Was auch a und b für Gebiete vorstellen mögen, so ist: 1 = a b + a b1 + a1b + a1b1.
Beweis. Man hat in der bisherigen Weise: 1 = a + a1 = a · 1 + a1 · 1 = a (b + b1) + a1 (b + b1) = a b + a b1 + a1b + a1b1 unter Berufung auf III× [oder auch nur III×0]. —
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[308/0328]
Siebente Vorlesung.
33+) Theorem. Es ist allgemein:
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endlich 14+) — nicht zu gedenken der Theoreme 16), 12+) und 13+)
Zusätze. Man darf nämlich den Faktor 1 hinzusetzen, für 1 nach
Belieben b + b1 oder a + a1 substituiren (da diese Terme der 1 gleich
sind), sodann ausmultipliziren, weil hier die Summanden disjunkte sind,
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Zusatz zu Th. 33+). Für beliebige a, b ist auch:
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d. h. Eine Summe bleibt ungeändert, wenn man einen Summanden mul-
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Glieds derselben erscheint, darf man diesen Faktor unterdrücken.
Beweis. Es ist ähnlich wie oben:
a + b = a · 1 + b = a (b + b1) + b = (a b + a b1) + b = a b1 + (a b + b) = a b1 + b
mit Rücksicht, ferner, auf das Absorptionsgesetz 23×). Und analog
wenn b und a vertauscht werden. Dies ist der selbständige Beweis
des für die Technik des Kalkuls ungemein wichtigen Zusatzes. Am
schnellsten ergibt sich derselbe aus der Formel 33+) durch Vereinigung
des ersten Terms rechterhand mit dem zweiten oder dritten gemäss
27+), 30+) und 21×).
Durch Anwendung vorstehender Sätze kann eine binomische Summe
jederzeit in eine „reduzirte“ verwandelt werden. Es ist ratsam, sich
dieselben einzuprägen. Ihre Veranschaulichung geben wir unter dem
nächsten Satze.
34+) Theorem. Was auch a und b für Gebiete vorstellen mögen,
so ist:
1 = a b + a b1 + a1 b + a1 b1.
Beweis. Man hat in der bisherigen Weise:
1 = a + a1 = a · 1 + a1 · 1 = a (b + b1) + a1 (b + b1) = a b + a b1 + a1 b + a1 b1
unter Berufung auf III× [oder auch nur III×0]. —
Sind a und b z. B. Kreisflächen, so entsprechen den Gliedern
rechterhand in 34+) die vier Teile, in welche von den Konturen dieser
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 308. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/328>, abgerufen am 25.11.2024.
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