Ein Produkt kann nicht anders gleich 1 werden, als indem jeder Faktor desselben gleich 1 wird.
Eine Summe kann nur dann ver- schwinden, wenn ihre Glieder sämt- lich gleich 0 werden.
Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1):
Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1):
1 a b,
a + b 0.
und da nach Th. 6x)
Aber nach Th. 6+) ist
a ba
aa + b,
ist, so folgt nach II auch:
folglich nach II:
1 a,
a 0,
somit nach Th. 5+):
nach Th. 5x) also
1 = a.
a = 0.
Analog beweist man auch, dass 1 = b ist; zudem folgt dies nach 21x) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem schon a = 1 be- wiesen ist.
Analog beweist man auch, dass b = 0 ist; desgl. folgt dies nach 21+) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem bereits a = 0 be- wiesen ist.
Beweis 2. Nach Def. (3x) resp. (3+) sagt die Subsumtion
1 a b
a + b 0
ganz das nämliche aus, wie die beiden Subsumtionen:
1 a nebst 1 b
a 0 nebst b 0
zusammen, und nach Th. 5x) resp. 5+) sind diese Subsumtionen alle drei je für sich äquivalent den entsprechenden Gleichungen in unserm zu beweisenden Satze.
Beweis 3. Beiderseitige Addi- tion von a zu der Voraussetzung nach 15+) gibt wegen 22+):
Beweis 3. Multiplikation der Voraussetzung beiderseits mit a gemäss 15x) gibt wegen 22x):
1 = a b + a
a (a + b) = 0,
also nach 23+):
also nach 23x):
1 = a,
a = 0,
etc.
etc.
Anmerkung. Nach Th. 5) hätten auch die Gleichheitszeichen in der Voraussetzung unseres Satzes (desgleichen überall in demselben) durch das Subsumtionszeichen ersetzt werden können.
Mit Beweis 1 konnte das Theorem schon viel früher aufgeführt
Fünfte Vorlesung.
Ein Produkt kann nicht anders gleich 1 werden, als indem jeder Faktor desselben gleich 1 wird.
Eine Summe kann nur dann ver- schwinden, wenn ihre Glieder sämt- lich gleich 0 werden.
Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1):
Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1):
1 ⋹ a b,
a + b ⋹ 0.
und da nach Th. 6×)
Aber nach Th. 6+) ist
a b ⋹ a
a ⋹ a + b,
ist, so folgt nach II auch:
folglich nach II:
1 ⋹ a,
a ⋹ 0,
somit nach Th. 5+):
nach Th. 5×) also
1 = a.
a = 0.
Analog beweist man auch, dass 1 = b ist; zudem folgt dies nach 21×) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem schon a = 1 be- wiesen ist.
Analog beweist man auch, dass b = 0 ist; desgl. folgt dies nach 21+) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem bereits a = 0 be- wiesen ist.
Beweis 2. Nach Def. (3×) resp. (3+) sagt die Subsumtion
1 ⋹ a b
a + b ⋹ 0
ganz das nämliche aus, wie die beiden Subsumtionen:
1 ⋹ a nebst 1 ⋹ b
a ⋹ 0 nebst b ⋹ 0
zusammen, und nach Th. 5×) resp. 5+) sind diese Subsumtionen alle drei je für sich äquivalent den entsprechenden Gleichungen in unserm zu beweisenden Satze.
Beweis 3. Beiderseitige Addi- tion von a zu der Voraussetzung nach 15+) gibt wegen 22+):
Beweis 3. Multiplikation der Voraussetzung beiderseits mit a gemäss 15×) gibt wegen 22×):
1 = a b + a
a (a + b) = 0,
also nach 23+):
also nach 23×):
1 = a,
a = 0,
etc.
etc.
Anmerkung. Nach Th. 5) hätten auch die Gleichheitszeichen in der Voraussetzung unseres Satzes (desgleichen überall in demselben) durch das Subsumtionszeichen ersetzt werden können.
Mit Beweis 1 konnte das Theorem schon viel früher aufgeführt
<TEI><text><body><divn="1"><pbfacs="#f0298"n="278"/><fwplace="top"type="header">Fünfte Vorlesung.</fw><lb/><table><row><cell><hirendition="#i">Ein Produkt kann nicht anders<lb/>
gleich</hi> 1 <hirendition="#i">werden</hi>, <hirendition="#i">als indem jeder<lb/>
Faktor desselben gleich</hi> 1 <hirendition="#i">wird</hi>.</cell><cell><hirendition="#i">Eine Summe kann nur dann ver-<lb/>
schwinden, wenn ihre Glieder sämt-<lb/>
lich gleich</hi> 0 <hirendition="#i">werden</hi>.</cell></row><lb/><row><cell><hirendition="#g">Beweis</hi> 1. Laut Voraussetzung<lb/>
ist nach Def. (1):</cell><cell><hirendition="#g">Beweis</hi> 1. Laut Voraussetzung<lb/>
ist nach Def. (1):</cell></row><lb/><row><cell>1 ⋹<hirendition="#i">a b</hi>,</cell><cell><hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi>⋹ 0.</cell></row><lb/><row><cell>und da nach Th. 6<hirendition="#sub">×</hi>)</cell><cell>Aber nach Th. 6<hirendition="#sub">+</hi>) ist</cell></row><lb/><row><cell><hirendition="#i">a b</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi></cell><cell><hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi>,</cell></row><lb/><row><cell>ist, so folgt nach II auch:</cell><cell>folglich nach II:</cell></row><lb/><row><cell>1 ⋹<hirendition="#i">a</hi>,</cell><cell><hirendition="#i">a</hi>⋹ 0,</cell></row><lb/><row><cell>somit nach Th. 5<hirendition="#sub">+</hi>):</cell><cell>nach Th. 5<hirendition="#sub">×</hi>) also</cell></row><lb/><row><cell>1 = <hirendition="#i">a</hi>.</cell><cell><hirendition="#i">a</hi> = 0.</cell></row><lb/><row><cell>Analog beweist man auch, dass<lb/>
1 = <hirendition="#i">b</hi> ist; zudem folgt dies nach<lb/>
21<hirendition="#sub">×</hi>) als Rückstand aus der Voraus-<lb/>
setzung, nachdem schon <hirendition="#i">a</hi> = 1 be-<lb/>
wiesen ist.</cell><cell>Analog beweist man auch, dass<lb/><hirendition="#i">b</hi> = 0 ist; desgl. folgt dies nach<lb/>
21<hirendition="#sub">+</hi>) als Rückstand aus der Voraus-<lb/>
setzung, nachdem bereits <hirendition="#i">a</hi> = 0 be-<lb/>
wiesen ist.</cell></row><lb/></table><p><hirendition="#g">Beweis</hi> 2. Nach Def. (3<hirendition="#sub">×</hi>) resp. (3<hirendition="#sub">+</hi>)<lb/>
sagt die Subsumtion<lb/><table><row><cell>1 ⋹<hirendition="#i">a b</hi></cell><cell><hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi>⋹ 0</cell></row><lb/></table> ganz das nämliche aus, wie die beiden Subsumtionen:<lb/><table><row><cell>1 ⋹<hirendition="#i">a</hi> nebst 1 ⋹<hirendition="#i">b</hi></cell><cell><hirendition="#i">a</hi>⋹ 0 nebst <hirendition="#i">b</hi>⋹ 0</cell></row><lb/></table> zusammen, und nach Th. 5<hirendition="#sub">×</hi>) resp. 5<hirendition="#sub">+</hi>) sind diese Subsumtionen alle<lb/>
drei je für sich äquivalent den entsprechenden Gleichungen in unserm<lb/>
zu beweisenden Satze.</p><lb/><table><row><cell><hirendition="#g">Beweis</hi> 3. Beiderseitige Addi-<lb/>
tion von <hirendition="#i">a</hi> zu der Voraussetzung<lb/>
nach 15<hirendition="#sub">+</hi>) gibt wegen 22<hirendition="#sub">+</hi>):</cell><cell><hirendition="#g">Beweis</hi> 3. Multiplikation der<lb/>
Voraussetzung beiderseits mit <hirendition="#i">a</hi><lb/>
gemäss 15<hirendition="#sub">×</hi>) gibt wegen 22<hirendition="#sub">×</hi>):</cell></row><lb/><row><cell>1 = <hirendition="#i">a b</hi> + <hirendition="#i">a</hi></cell><cell><hirendition="#i">a</hi> (<hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi>) = 0,</cell></row><lb/><row><cell>also nach 23<hirendition="#sub">+</hi>):</cell><cell>also nach 23<hirendition="#sub">×</hi>):</cell></row><lb/><row><cell>1 = <hirendition="#i">a</hi>,</cell><cell><hirendition="#i">a</hi> = 0,</cell></row><lb/><row><cell>etc.</cell><cell>etc.</cell></row><lb/></table><p><hirendition="#g">Anmerkung</hi>. Nach Th. 5) hätten auch die Gleichheitszeichen<lb/>
in der Voraussetzung unseres Satzes (desgleichen überall in demselben)<lb/>
durch das Subsumtionszeichen ersetzt werden können.</p><lb/><p>Mit Beweis 1 konnte das Theorem schon viel früher aufgeführt<lb/></p></div></body></text></TEI>
[278/0298]
Fünfte Vorlesung.
Ein Produkt kann nicht anders
gleich 1 werden, als indem jeder
Faktor desselben gleich 1 wird. Eine Summe kann nur dann ver-
schwinden, wenn ihre Glieder sämt-
lich gleich 0 werden.
Beweis 1. Laut Voraussetzung
ist nach Def. (1): Beweis 1. Laut Voraussetzung
ist nach Def. (1):
1 ⋹ a b, a + b ⋹ 0.
und da nach Th. 6×) Aber nach Th. 6+) ist
a b ⋹ a a ⋹ a + b,
ist, so folgt nach II auch: folglich nach II:
1 ⋹ a, a ⋹ 0,
somit nach Th. 5+): nach Th. 5×) also
1 = a. a = 0.
Analog beweist man auch, dass
1 = b ist; zudem folgt dies nach
21×) als Rückstand aus der Voraus-
setzung, nachdem schon a = 1 be-
wiesen ist. Analog beweist man auch, dass
b = 0 ist; desgl. folgt dies nach
21+) als Rückstand aus der Voraus-
setzung, nachdem bereits a = 0 be-
wiesen ist.
Beweis 2. Nach Def. (3×) resp. (3+)
sagt die Subsumtion
1 ⋹ a b a + b ⋹ 0
ganz das nämliche aus, wie die beiden Subsumtionen:
1 ⋹ a nebst 1 ⋹ b a ⋹ 0 nebst b ⋹ 0
zusammen, und nach Th. 5×) resp. 5+) sind diese Subsumtionen alle
drei je für sich äquivalent den entsprechenden Gleichungen in unserm
zu beweisenden Satze.
Beweis 3. Beiderseitige Addi-
tion von a zu der Voraussetzung
nach 15+) gibt wegen 22+): Beweis 3. Multiplikation der
Voraussetzung beiderseits mit a
gemäss 15×) gibt wegen 22×):
1 = a b + a a (a + b) = 0,
also nach 23+): also nach 23×):
1 = a, a = 0,
etc. etc.
Anmerkung. Nach Th. 5) hätten auch die Gleichheitszeichen
in der Voraussetzung unseres Satzes (desgleichen überall in demselben)
durch das Subsumtionszeichen ersetzt werden können.
Mit Beweis 1 konnte das Theorem schon viel früher aufgeführt
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 278. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/298>, abgerufen am 25.08.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.