Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 11. Gemischte Gesetze.

nach den Schemata 21) und 22) möglich und angezeigt erscheinen,
und zwar ist leicht einzusehen, dass sich der vorausgesetzte Umstand
des Vorkommens von 0 oder 1 — durch das fortgesetzte und nötigen-
falls wechselnde Spiel der Berücksichtigung des jeweils einschlägigen
von diesen Schemata — immer gänzlich beseitigen lässt, mit einziger
Ausnahme des Falles, wo der ganze Ausdruck nach seiner Reduktion
schliesslich selbst den Wert 0 oder 1 annimmt (d. h. sich herausstellt,
dass er eben diesen Wert besitzen muss).

Es wird nämlich jede als Summand auftretende Null, sowie jede
als Faktor auftretende 1 ohne weiteres zu unterdrücken sein. Wo
dagegen die 0 als Faktor erscheint, tilge man das ganze Produkt, in
welchem sie Faktor ist. Wofern nämlich dieses Produkt nicht etwa
selbst der ganze Ausdruck ist (welcher dann vielmehr in 0 zu ver-
wandeln wäre), muss es nämlich Summand sein; denn wenn es Faktor
wäre, hätte man nicht das ganze Produkt genommen gehabt. Ebenso
wo 1 als Summand auftritt, tilge man alle übrigen mit ihm verbundenen
Summanden. Darnach muss diese 1 Faktor geworden sein, wofern sie
nicht der resultirende Wert des Ausdrucks selbst ist, denn wenn sie
abermals Summand wäre, hätte man ja die übrigen Summanden noch
nicht vollständig getilgt gehabt.

In solcher Weise reduzirt kann ein aus Gebietsymbolen mittelst Addi-
tion und Multiplikation aufgebauter Ausdruck, sofern er nicht selbst in
den Endwert 0 oder aber 1 sich zusammenzieht, die Symbole 0 und 1
nicht (weiter) enthalten.

Exempel. (a + b + c) (a + b + d) (a + c + d) · 0 · (1 + b + c + d) = 0,
{a (b + c) + d (a + c)} (a b + c d) (b f + g h) + (1 + a c) (1 + g h) + (a + b) · 0 · (c + d) + a d + b c d = 1,
a + 0 + (a + 1) (1 + 1) c (0 + 1) (1 + d) + 1 · {a (b c + d + 1) · 1 · d · 0 + e · 1} (1 + f + g + 0) = a + c + e.

So wichtig die vier Sätze 21) und 22) für den Kalkul mit Klassen
sich erweisen werden, so wenig Wert scheint es zu haben, dieselben in
der Wortsprache für solche in Anspruch zu nehmen.

Mit Widerstreben fast bequeme ich mich zu dem Versuche, der mehr
nur als eine Übung für den Leser in der verbalen Einkleidung von Formeln
sich rechtfertigen dürfte.

21_×) Was schwarz und zugleich irgend etwas ist, das ist schwarz, und vice versā.	21_+) Was schwarz oder nichts ist, ist schwarz (und umgekehrt). Es wird sich freilich entgegnen lassen: es könne auch nichts sein. Dieses hebt aber unser Urteil keineswegs auf, da wir übereingekommen sind, unter den schwarzen Dingen auch das Nichts mitzubegreifen.
22_×) Was schwarz und zugleich nichts ist, muss nichts sein — dies wird allgemein zugegeben werden. Aber auch umgekehrt: Nichts ist nichts und zugleich schwarz — so wenig-

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