Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 10. Die nicht von Negation handelnden Sätze.

Ein Pistolenschütze ist ein Mensch. Darum muss aber ein vortreff-
licher Schütze noch nicht ein vortrefflicher Mensch, der beste Schütze nicht
der beste Mensch sein! Ebenso braucht eine grosse Fliege kein grosses
Tier, ein kleiner Elephant kein kleines Tier zu sein, eine grosse Hütte
kein grosses Gebäude — vergl. Jevons⁶. Pfennige sind Geld, aber viele
Pfennige können doch wenig Geld sein. Etc.

Die Ausnahme ist darin begründet, dass hier das Adjektiv c, welches
determinirend zum Subjekt und Prädikat tritt, in beiden einen verschiedenen
Sinn erhält zufolge des Umstandes, dass es als ein relatives verstanden,
relativ genommen wird, nämlich eine Beziehung, ein Verhältniss des Sub-
stantivs zu andern seinesgleichen auszudrücken bestimmt ist. Der Begriff
„vortrefflich unter den Schützen“ hat einen andern Inhalt, als der „vor-
trefflich unter den Menschen, vortrefflich als Mensch“ und dementsprechend
ist auch der Umfang beider Klassen nicht derselbe.

Das Th. 15_×) gilt stricte nur dann, wenn die Klasse c im Subjekt
und Prädikat in absolut demselben Sinne verstanden wird.

Dementsprechend würde auch der Schluss: Alles Metall ist Substanz,
folglich muss gelten: Das schwerste Metall (Iridium) ist die schwerste
Substanz — dieser Schluss würde formell falsch, ein Fehlschluss sein, ob-
wol hier die Prämisse sowol als die Konklusion materiell richtig ist.

Eine ähnliche Bemerkung: dass der Kontrast von Individuen einer
Subjektklasse zu ihresgleichen unwillkürlich mit in's Gewicht fällt, trifft
nicht selten schon beim Erteilen solcher Prädikate zu, die sich als absolut
bestimmte Attribute darzustellen scheinen. So werden wir vielleicht die
gleiche Farbe, die falls von Schafen die Rede ist, noch „weiss“ genannt
wird, bei einer chemischen Substanz als grau oder gelblich bezeichnen.
Als den Umfang des Begriffes „weiss“ in absolutem Sinne können wir
immerhin bezeichnen: die Gesamtheit derjenigen Dinge, welche wir (als
solche ihrer Kategorie) eben „weiss“ nennen würden, und bleibt dies un-
bedenklich, es erscheint der Umfang nämlich als völlig bestimmt, solange
nicht Objekte bekannt sind als unter verschiedene Kategorieen zugleich
fallende, unter deren einer sie als weiss, unter deren andrer sie als nicht-
weiss zu bezeichnen wären. — Dass wir nur mit wohldefinirten Klassen zu
thun hätten, wurde bereits als eine nicht überall wirklich erfüllte, ideale
Voraussetzung der Logik hingestellt.

16_×) Theorem.	16_+) Theorem.
Wenn a = b, so ist a c = b c.	Wenn a = b, so ist a + c = b + c.

Man darf also auch beide Seiten einer Gleichung mit demselben Symbol
multipliziren, sowie um Dasselbe vermehren.

Beweis. Die Annahme a = b zerfällt nach Def. (1) in die beiden
Subsumtionen a ⋹ b und b ⋹ a. Aus der ersten folgt nach Th.

15_×) a c ⋹ b c

15_+) a + c ⋹ b + c

und ebenso aus der zweiten:

b c ⋹ a c

b + c ⋹ a + c

womit nach Def. (1) die Behauptung erwiesen ist.