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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Fünfte Vorlesung.

der Fall. Über Zweck, Sinn und Verwendungsweise dieses Elementes
der Zeichensprache, welches für die Erzielung knapper Ausdrucks-
formen so hoch wichtig ist, im Grunde jedoch -- zur Not -- ent-
behrt werden könnte, möge auf den Exkurs über Klammern in An-
hang 2 verwiesen sein.

Beweis des Theorems. Nach 6x) resp. 6+) ist:

b c c und a (b c) b c,	c b + c und b + c a + (b + c)
folglich nach II:	somit nach II:
a (b c) c.	c a + (b + c).
Ebenso ergibt aus	Ebenso ist:
b c b und a (b c) b c	b b + c, b + c a + (b + c),
sich auch:	somit:
a (b c) b.	b a + (b + c).
Endlich ist nach 6x) unmittelbar:	Endlich ist nach 6+) unmittelbar:
a (b c) a.	a a + (b + c).
Aus dieser letzten und der vorher- gehenden Subsumtion folgt nach Def. (3x)': a (b c) a b	Aus dieser und der vorhergehenden Subsumtion folgt nach (3+)': a + b a + (b + c)
und hieraus, in Verbindung mit der vorher erwiesenen Subsumtion [a (b c) c] folgt ebenso:	und hieraus, in Verbindung mit der zuerst konstatirten Subsumtion c a + (b + c) folgt ebenso:
a (b c) (a b) c.	(a + b) + c a + (b + c).

Analog zeigt man, dass umgekehrt:

(a b) c a (b c)

a + (b + c) (a + b) + c

ist, womit sich dann die Gleichheit der beiderseitigen Ausdrücke nach
Def. (1) bewiesen findet.

In der That ist nach 6x):	Man hat nämlich nach 6+):
(a b) c a b, desgl. a b a	a a + b, a + b (a + b) + c,
folglich a fortiori:	folglich
(a b) c a.	a (a + b) + c.
Aus	Ebenso
(a b) c a b und a b b	b a + b, a + b (a + b) + c,
folgt ebenso:	woraus:
(a b) c b.	b (a + b) + c.
Endlich ist nach 6x) direkt:	Endlich nach 6+) direkt:
(a b) c c.	c (a + b) + c.

Fünfte Vorlesung.

der Fall. Über Zweck, Sinn und Verwendungsweise dieses Elementes
der Zeichensprache, welches für die Erzielung knapper Ausdrucks-
formen so hoch wichtig ist, im Grunde jedoch — zur Not — ent-
behrt werden könnte, möge auf den Exkurs über Klammern in An-
hang 2 verwiesen sein.

Beweis des Theorems. Nach 6×) resp. 6+) ist:

b c ⋹ c und a (b c) ⋹ b c,	c ⋹ b + c und b + c ⋹ a + (b + c)
folglich nach II:	somit nach II:
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Analog zeigt man, dass umgekehrt:

(a b) c ⋹ a (b c)

a + (b + c) ⋹ (a + b) + c

ist, womit sich dann die Gleichheit der beiderseitigen Ausdrücke nach
Def. (1) bewiesen findet.

In der That ist nach 6×):	Man hat nämlich nach 6+):
(a b) c ⋹ a b, desgl. a b ⋹ a	a ⋹ a + b, a + b ⋹ (a + b) + c,
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[256/0276] Fünfte Vorlesung. der Fall. Über Zweck, Sinn und Verwendungsweise dieses Elementes der Zeichensprache, welches für die Erzielung knapper Ausdrucks- formen so hoch wichtig ist, im Grunde jedoch — zur Not — ent- behrt werden könnte, möge auf den Exkurs über Klammern in An- hang 2 verwiesen sein. Beweis des Theorems. Nach 6×) resp. 6+) ist: b c ⋹ c und a (b c) ⋹ b c, c ⋹ b + c und b + c ⋹ a + (b + c) folglich nach II: somit nach II: a (b c) ⋹ c. c ⋹ a + (b + c). Ebenso ergibt aus Ebenso ist: b c ⋹ b und a (b c) ⋹ b c b ⋹ b + c, b + c ⋹ a + (b + c), sich auch: somit: a (b c) ⋹ b. b ⋹ a + (b + c). Endlich ist nach 6×) unmittelbar: Endlich ist nach 6+) unmittelbar: a (b c) ⋹ a. a ⋹ a + (b + c). Aus dieser letzten und der vorher- gehenden Subsumtion folgt nach Def. (3×)': a (b c) ⋹ a b Aus dieser und der vorhergehenden Subsumtion folgt nach (3+)': a + b ⋹ a + (b + c) und hieraus, in Verbindung mit der vorher erwiesenen Subsumtion [a (b c) ⋹ c] folgt ebenso: und hieraus, in Verbindung mit der zuerst konstatirten Subsumtion c ⋹ a + (b + c) folgt ebenso: a (b c) ⋹ (a b) c. (a + b) + c ⋹ a + (b + c). Analog zeigt man, dass umgekehrt: (a b) c ⋹ a (b c) a + (b + c) ⋹ (a + b) + c ist, womit sich dann die Gleichheit der beiderseitigen Ausdrücke nach Def. (1) bewiesen findet. In der That ist nach 6×): Man hat nämlich nach 6+): (a b) c ⋹ a b, desgl. a b ⋹ a a ⋹ a + b, a + b ⋹ (a + b) + c, folglich a fortiori: folglich (a b) c ⋹ a. a ⋹ (a + b) + c. Aus Ebenso (a b) c ⋹ a b und a b ⋹ b b ⋹ a + b, a + b ⋹ (a + b) + c, folgt ebenso: woraus: (a b) c ⋹ b. b ⋹ (a + b) + c. Endlich ist nach 6×) direkt: Endlich nach 6+) direkt: (a b) c ⋹ c. c ⋹ (a + b) + c.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 256. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/276>, abgerufen am 16.02.2025.

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