§ 10. Die nicht von Negation handelnden Sätze. Reine Gesetze, von Multiplikation und Addition je für sich.
12) Theorem. Für die identischen Operationen gilt das "Kommuta- tionsgesetz":
12x) a b = b a.
12+) a + b = b + a.
Nach diesem dürfen die beiden
Faktoren eines identischen Pro- duktes
Glieder einer identischen Summe
miteinander ausgetauscht werden -- ohne dass dies von Einfluss auf die Bedeutung, den Wert des Ausdrucks wäre. Die identische Multipli- kation resp. Addition -- können wir auch sagen -- ist eine "kommu- tative" Operation; ihr Ergebniss ist "symmetrisch" in Bezug auf die (beiden) Operationsglieder.
Beweis des Satzes. Nach den Formeln des Th.
6x) a bb, a ba
6+) ba + b, aa + b
von welchen ja nach Anmerkung zu Pr. I, S. 170, eine beliebige zu- erst statuirt werden durfte, folgt gemäss Def. (3x)' resp. (3+)':
a bb a
b + aa + b
und in dieser hiemit allgemein bewiesenen Formel darf man auch a und b vertauschen und erhält:
b aa b
a + bb + a
was mit dem vorigen Ergebniss nach Def. (1) zusammenfliesst zu
a b = b a,
a + b = b + a,
welches zu beweisen war.
[Das zweite Ergebniss hätte auch, analog wie das erste, direkt aus den vom Th. 6) gelieferten Subsumtionen:
b aa, b ab
ab + a, bb + a
nach Def. (3)' abgeleitet werden können; doch wäre diese Variante des Beweises augenscheinlich etwas weniger einfach gewesen.]
Fünfte Vorlesung.
§ 10. Die nicht von Negation handelnden Sätze. Reine Gesetze, von Multiplikation und Addition je für sich.
12) Theorem. Für die identischen Operationen gilt das „Kommuta- tionsgesetz“:
12×) a b = b a.
12+) a + b = b + a.
Nach diesem dürfen die beiden
Faktoren eines identischen Pro- duktes
Glieder einer identischen Summe
miteinander ausgetauscht werden — ohne dass dies von Einfluss auf die Bedeutung, den Wert des Ausdrucks wäre. Die identische Multipli- kation resp. Addition — können wir auch sagen — ist eine „kommu- tative“ Operation; ihr Ergebniss ist „symmetrisch“ in Bezug auf die (beiden) Operationsglieder.
Beweis des Satzes. Nach den Formeln des Th.
6×) a b ⋹ b, a b ⋹ a
6+) b ⋹ a + b, a ⋹ a + b
von welchen ja nach Anmerkung zu Pr. I, S. 170, eine beliebige zu- erst statuirt werden durfte, folgt gemäss Def. (3×)' resp. (3+)':
a b ⋹ b a
b + a ⋹ a + b
und in dieser hiemit allgemein bewiesenen Formel darf man auch a und b vertauschen und erhält:
b a ⋹ a b
a + b ⋹ b + a
was mit dem vorigen Ergebniss nach Def. (1) zusammenfliesst zu
a b = b a,
a + b = b + a,
welches zu beweisen war.
[Das zweite Ergebniss hätte auch, analog wie das erste, direkt aus den vom Th. 6) gelieferten Subsumtionen:
b a ⋹ a, b a ⋹ b
a ⋹ b + a, b ⋹ b + a
nach Def. (3)' abgeleitet werden können; doch wäre diese Variante des Beweises augenscheinlich etwas weniger einfach gewesen.]
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[[254]/0274]
Fünfte Vorlesung.
§ 10. Die nicht von Negation handelnden Sätze. Reine Gesetze,
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12) Theorem. Für die identischen Operationen gilt das „Kommuta-
tionsgesetz“:
12×) a b = b a. 12+) a + b = b + a.
Nach diesem dürfen die beiden
Faktoren eines identischen Pro-
duktes Glieder einer identischen Summe
miteinander ausgetauscht werden — ohne dass dies von Einfluss auf die
Bedeutung, den Wert des Ausdrucks wäre. Die identische Multipli-
kation resp. Addition — können wir auch sagen — ist eine „kommu-
tative“ Operation; ihr Ergebniss ist „symmetrisch“ in Bezug auf die
(beiden) Operationsglieder.
Beweis des Satzes. Nach den Formeln des Th.
6×) a b ⋹ b, a b ⋹ a 6+) b ⋹ a + b, a ⋹ a + b
von welchen ja nach Anmerkung zu Pr. I, S. 170, eine beliebige zu-
erst statuirt werden durfte, folgt gemäss Def. (3×)' resp. (3+)':
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und in dieser hiemit allgemein bewiesenen Formel darf man auch a
und b vertauschen und erhält:
b a ⋹ a b a + b ⋹ b + a
was mit dem vorigen Ergebniss nach Def. (1) zusammenfliesst zu
a b = b a, a + b = b + a,
welches zu beweisen war.
[Das zweite Ergebniss hätte auch, analog wie das erste, direkt
aus den vom Th. 6) gelieferten Subsumtionen:
b a ⋹ a, b a ⋹ b a ⋹ b + a, b ⋹ b + a
nach Def. (3)' abgeleitet werden können; doch wäre diese Variante
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. [254]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/274>, abgerufen am 25.11.2024.
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