Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 9. Konsequenzen der Adjungirung einer Nullklasse.

der Art, wie ihre Elemente gegeben oder auch begrifflich bestimmt
sein dürfen, gewisse Anforderungen zu erfüllen haben.

Als eine erste Anforderung haben wir schon in § 7 unter Postulat
((1₊)) die namhaft gemacht: dass die Elemente der Mannigfaltigkeit
sämtlich vereinbar, miteinander „verträglich“ sein müssen. Nur in die-
sem Falle bezeichnen wir die Mannigfaltigkeit mit 1. Im andern da-
gegen ziehen wir für dieselbe den Namen ∞ vor als des einzigen
(Zahl?)-Zeichens aus dem Bereich der Arithmetik, welches daselbst
eine definitiv unerfüllbare Forderung (die: mit 0 multiplizirt 1 zu geben)
ausdrückt (wogegen die anfängliche Unmöglichkeit andrer Symbole,
wie — 1, i = [Formel 1] , etc., sich bekanntlich durch Erweiterung des
Zahlengebiets beheben liess), als des spezifischen Symboles, also, der
Unmöglichkeit. [Ein Exempel für letztere wird in Gestalt einer Man-
nigfaltigkeit von miteinander unverträglichen Funktionalgleichungen in
Anhang 5 gegeben.] Eine Mannigfaltigkeit, welche demnach ∞ zu
nennen wäre, lassen wir im „identischen“ Kalkul ausser Betracht.

Sind die Elemente der Mannigfaltigkeit vereinbar, so lassen sich
in derselben kollektiv nach Belieben Systeme, „Gebiete“ aus ihren Ele-
menten zusammensetzen, in ihr abgrenzen, es lassen sich m. a. W.
auch zwecks distributiver Verwendung irgendwie Klassen von Indi-
viduen aus ihr hervorheben.

Und insbesondre gehören auch ihre Individuen selbst mit zu den
Klassen, welche wir dann, wenn sie eben zu nur einem Individuum zu-
sammenschrumpfen, als „monadische“ oder „singuläre“ Klassen bezeich-
nen mögen.

Durch jenen Prozess der beliebigen Hervorhebung von Klassen von
Individuen der ursprünglich gedachten Mannigfaltigkeit wird nun (im
Allgemeinen) eine neue, noch viel umfassendere Mannigfaltigkeit ent-
stehen, geschaffen, nämlich die der Gebiete oder Klassen der vorigen.

So ist die Mannigfaltigkeit der Punktgebiete der Tafelfläche eine
viel umfassendere als die Mannigfaltigkeit ihrer Punkte; denn während
die letztere als Gebiete, Punktklassen, nur irgend welche Flächen ent-
hält, umfasst die erstere ausser diesen selben Flächen (als ihren „sin-
gulären“ Klassen) auch noch alle denkbaren Gattungen von Flächen,
z. B. die Gattung der kreisförmigen Flächen, als Klassen in sich. Jedes
Individuum der letztern Mannigfaltigkeit ist ein Punktgebiet, eine Fläche,
die auch in Linie, Punktgruppe oder Punkt zusammenschrumpfen kann.
Jedes Individuum der erstern ist eine Gattung von Punktgebieten, die
ebenso auch in ein einzelnes Punktgebiet schrumpfen kann und not-
wendig auch alles vorige mit in sich schliesst.