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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dritte Vorlesung.
auch in b enthalten, für x c auch x b sein. Nach beiden Voraus-
setzungen zusammen wird also jedes in c enthaltene x zugleich auch
in a und in b enthalten sein, wonach die Def. (4x) ersichtlich an-
wendbar ist, und nach dieser c a b zu sagen sein wird. Damit ist
dann auch (3x)' und sohin die ganze Def. (3) gewonnen.

Mit Def. (3) sowol als Def. (4) erscheint auf den ersten Blick
immer noch

das Produkt nur als Prädikatdie Summe nur als Subjekt
allgemein definirt. Gleichwol zeigt sich leicht, dass damit doch auch
für die Verwendung
des Produkts als Subjektder Summe als Prädikat
schon in gewissem Grade präjudizirt ist.

In der That ist dies wenigstens in den Beispielen der Subsumtionen a)
des vorigen Paragraphen, sowie des Theorems 6), also bei:

[Tabelle]
augenscheinlich der Fall. Und diese Beispiele bleiben auch nicht die
einzigen; vielmehr könnten wir sogleich den Zusatz beifügen: So oft
etwa noch
a y oder b yy a oder y b
sein sollte, muss nach II auch
a b yy a + b
gelten, und diese Subsumtionen würden ebenfalls die umgekehrte Verwendung
exemplifiziren.

Dass aber auch ganz allgemein die Definition

des Produkts als Subjektder Summe als Prädikat
zurückgeführt werden kann auf die für die frühere (hiezu umgekehrte)
Verwendung bereits gegebene Def. (3), dass sie durch diese völlig mit-
gegeben ist, ergibt sich aus folgender Betrachtung, die wir in die
Form zweier Lehrsätze kleiden.

(8x)' Theorem. Soll(8+)' Theorem. Soll
a b cc a + b

gelten, so muss für jedes x, für welches

x a ba + b x
ist, auch sein:
x c.c x.

Beweis direkt aus II durch nur einmalige Anwendung dieses

Dritte Vorlesung.
auch in b enthalten, für x ⋹ c auch x ⋹ b sein. Nach beiden Voraus-
setzungen zusammen wird also jedes in c enthaltene x zugleich auch
in a und in b enthalten sein, wonach die Def. (4×) ersichtlich an-
wendbar ist, und nach dieser c ⋹ a b zu sagen sein wird. Damit ist
dann auch (3×)' und sohin die ganze Def. (3) gewonnen.

Mit Def. (3) sowol als Def. (4) erscheint auf den ersten Blick
immer noch

das Produkt nur als Prädikatdie Summe nur als Subjekt
allgemein definirt. Gleichwol zeigt sich leicht, dass damit doch auch
für die Verwendung
des Produkts als Subjektder Summe als Prädikat
schon in gewissem Grade präjudizirt ist.

In der That ist dies wenigstens in den Beispielen der Subsumtionen α)
des vorigen Paragraphen, sowie des Theorems 6), also bei:

[Tabelle]
augenscheinlich der Fall. Und diese Beispiele bleiben auch nicht die
einzigen; vielmehr könnten wir sogleich den Zusatz beifügen: So oft
etwa noch
a ⋹ y oder b ⋹ yy ⋹ a oder y ⋹ b
sein sollte, muss nach II auch
a b ⋹ yy ⋹ a + b
gelten, und diese Subsumtionen würden ebenfalls die umgekehrte Verwendung
exemplifiziren.

Dass aber auch ganz allgemein die Definition

des Produkts als Subjektder Summe als Prädikat
zurückgeführt werden kann auf die für die frühere (hiezu umgekehrte)
Verwendung bereits gegebene Def. (3), dass sie durch diese völlig mit-
gegeben ist, ergibt sich aus folgender Betrachtung, die wir in die
Form zweier Lehrsätze kleiden.

(8×)' Theorem. Soll(8+)' Theorem. Soll
a b ⋹ cc ⋹ a + b

gelten, so muss für jedes x, für welches

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[204/0224] Dritte Vorlesung. auch in b enthalten, für x ⋹ c auch x ⋹ b sein. Nach beiden Voraus- setzungen zusammen wird also jedes in c enthaltene x zugleich auch in a und in b enthalten sein, wonach die Def. (4×) ersichtlich an- wendbar ist, und nach dieser c ⋹ a b zu sagen sein wird. Damit ist dann auch (3×)' und sohin die ganze Def. (3) gewonnen. Mit Def. (3) sowol als Def. (4) erscheint auf den ersten Blick immer noch das Produkt nur als Prädikat die Summe nur als Subjekt allgemein definirt. Gleichwol zeigt sich leicht, dass damit doch auch für die Verwendung des Produkts als Subjekt der Summe als Prädikat schon in gewissem Grade präjudizirt ist. In der That ist dies wenigstens in den Beispielen der Subsumtionen α) des vorigen Paragraphen, sowie des Theorems 6), also bei: augenscheinlich der Fall. Und diese Beispiele bleiben auch nicht die einzigen; vielmehr könnten wir sogleich den Zusatz beifügen: So oft etwa noch a ⋹ y oder b ⋹ y y ⋹ a oder y ⋹ b sein sollte, muss nach II auch a b ⋹ y y ⋹ a + b gelten, und diese Subsumtionen würden ebenfalls die umgekehrte Verwendung exemplifiziren. Dass aber auch ganz allgemein die Definition des Produkts als Subjekt der Summe als Prädikat zurückgeführt werden kann auf die für die frühere (hiezu umgekehrte) Verwendung bereits gegebene Def. (3), dass sie durch diese völlig mit- gegeben ist, ergibt sich aus folgender Betrachtung, die wir in die Form zweier Lehrsätze kleiden. (8×)' Theorem. Soll (8+)' Theorem. Soll a b ⋹ c c ⋹ a + b gelten, so muss für jedes x, für welches x ⋹ a b a + b ⋹ x ist, auch sein: x ⋹ c. c ⋹ x. Beweis direkt aus II durch nur einmalige Anwendung dieses

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 204. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/224>, abgerufen am 23.11.2024.