Winkelberechnung des regulären und 3+1axigen Systems.
Beispiel. Zirkon nach Phillips 84° 20' in den Seitenkanten des Oktaeders, daher
[Formel 1]
. Der Endkantenwinkel wird 123° 15' angegeben, darnach a =
[Formel 2]
= 1,588 =
[Formel 3]
= l 0,19259. Nimmt man von beiden Axen das Mittel, so ist a = 1,559. Nach dem ersten a würde der Endkantenwinkel 123° 19' betragen, also um 4' größer sein.
Reguläres System.
[Formel 4]
, denn wir dürfen nur in der zweigliedrigen Formel a = b = 1 setzen. Eine Axe ist hier nicht mehr zu bestimmen.
Kantenzone
[Formel 5]
, denn m = n zu setzen.
Axenpunkte
[Formel 6]
, denn m = m und n = infinity zu setzen. Für die Granatoederkantenzone m = 1, folglich
[Formel 7]
. Für das Granatoeder selbst m = 1 und n = o, folglich tg =
[Formel 8]
= 60°.
Für die Neigung der Flächen gegen die Axenebene ist
[Formel 9]
, denn m = m, und n = infinity. Für das Oktaeder darin m = n = 1, gibt tg =
[Formel 10]
= 54° 44'.
Drei- und einaxiges System.
[Formel 11]
.
Es sei uns ein Axenkreuz aa gegeben, das sich unter 60° schneidet, konstruire ich dazu durch Parallelogromme die Kanten- zonen ob und oa, so wird die Kantenzonenlinie oa im stumpfen Winkel gleich der Axe a sein, im scharfen Winkel dagegen ist ob = asqrt3. Ziehe ich nun eine beliebige
[Formel 12]
, so muß diese nach dem Kantenzonen- gesetz die dritte a des stumpfen Winkels in
[Formel 13]
schnei- den, die zwischenliegende b im scharfen Winkel in
[Formel 14]
.
[Abbildung]
Das Zeichen der Linie ist also
[Formel 15]
, und da ich nun zwischen je zwei a eine Zwischenaxe b, also im Ganzen dreimal, legen kann, so werde ich die Schnitte in b durch einfache Addition der Nenner von a finden. Zwischen
[Formel 16]
und
[Formel 17]
liegt daher
[Formel 18]
, und zwischen
[Formel 19]
und
[Formel 20]
liegt
[Formel 21]
, das vollständige Zeichen der Linie ist also
[Formel 22]
. Bei der Rechnung haben wir nur eines der b mit einem der a auszuzeichnen, die aber wie die punktirten
Winkelberechnung des regulären und 3+1axigen Syſtems.
Beiſpiel. Zirkon nach Phillips 84° 20′ in den Seitenkanten des Oktaeders, daher
[Formel 1]
. Der Endkantenwinkel wird 123° 15′ angegeben, darnach a =
[Formel 2]
= 1,588 =
[Formel 3]
= l 0,19259. Nimmt man von beiden Axen das Mittel, ſo iſt a = 1,559. Nach dem erſten a würde der Endkantenwinkel 123° 19′ betragen, alſo um 4′ größer ſein.
Reguläres Syſtem.
[Formel 4]
, denn wir dürfen nur in der zweigliedrigen Formel a = b = 1 ſetzen. Eine Axe iſt hier nicht mehr zu beſtimmen.
Kantenzone
[Formel 5]
, denn m = n zu ſetzen.
Axenpunkte
[Formel 6]
, denn m = μ und n = ∞ zu ſetzen. Für die Granatoederkantenzone m = 1, folglich
[Formel 7]
. Für das Granatoeder ſelbſt μ = 1 und ν = o, folglich tg =
[Formel 8]
= 60°.
Für die Neigung der Flächen gegen die Axenebene iſt
[Formel 9]
, denn m = μ, und n = ∞. Für das Oktaeder darin μ = ν = 1, gibt tg =
[Formel 10]
= 54° 44′.
Drei- und einaxiges Syſtem.
[Formel 11]
.
Es ſei uns ein Axenkreuz aa gegeben, das ſich unter 60° ſchneidet, konſtruire ich dazu durch Parallelogromme die Kanten- zonen ob und oa, ſo wird die Kantenzonenlinie oa im ſtumpfen Winkel gleich der Axe a ſein, im ſcharfen Winkel dagegen iſt ob = a√3. Ziehe ich nun eine beliebige
[Formel 12]
, ſo muß dieſe nach dem Kantenzonen- geſetz die dritte a des ſtumpfen Winkels in
[Formel 13]
ſchnei- den, die zwiſchenliegende b im ſcharfen Winkel in
[Formel 14]
.
[Abbildung]
Das Zeichen der Linie iſt alſo
[Formel 15]
, und da ich nun zwiſchen je zwei a eine Zwiſchenaxe b, alſo im Ganzen dreimal, legen kann, ſo werde ich die Schnitte in b durch einfache Addition der Nenner von a finden. Zwiſchen
[Formel 16]
und
[Formel 17]
liegt daher
[Formel 18]
, und zwiſchen
[Formel 19]
und
[Formel 20]
liegt
[Formel 21]
, das vollſtändige Zeichen der Linie iſt alſo
[Formel 22]
. Bei der Rechnung haben wir nur eines der b mit einem der a auszuzeichnen, die aber wie die punktirten
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[55/0067]
Winkelberechnung des regulären und 3+1axigen Syſtems.
Beiſpiel. Zirkon nach Phillips 84° 20′ in den Seitenkanten des
Oktaeders, daher [FORMEL]. Der
Endkantenwinkel wird 123° 15′ angegeben, darnach a = [FORMEL]
= 1,588 = [FORMEL] = l 0,19259. Nimmt man von beiden Axen das
Mittel, ſo iſt a = 1,559. Nach dem erſten a würde der Endkantenwinkel
123° 19′ betragen, alſo um 4′ größer ſein.
Reguläres Syſtem.
[FORMEL],
denn wir dürfen nur in der zweigliedrigen Formel a = b = 1 ſetzen.
Eine Axe iſt hier nicht mehr zu beſtimmen.
Kantenzone [FORMEL], denn m = n zu ſetzen.
Axenpunkte [FORMEL], denn m = μ und n = ∞ zu ſetzen.
Für die Granatoederkantenzone m = 1, folglich [FORMEL]. Für
das Granatoeder ſelbſt μ = 1 und ν = o, folglich tg = [FORMEL] = 60°.
Für die Neigung der Flächen gegen die Axenebene iſt [FORMEL],
denn m = μ, und n = ∞. Für das Oktaeder darin μ = ν = 1,
gibt tg = [FORMEL] = 54° 44′.
Drei- und einaxiges Syſtem.
[FORMEL].
Es ſei uns ein Axenkreuz aa gegeben, das ſich unter 60° ſchneidet,
konſtruire ich dazu durch Parallelogromme die Kanten-
zonen ob und oa, ſo wird die Kantenzonenlinie oa im
ſtumpfen Winkel gleich der Axe a ſein, im ſcharfen
Winkel dagegen iſt ob = a√3. Ziehe ich nun eine
beliebige [FORMEL], ſo muß dieſe nach dem Kantenzonen-
geſetz die dritte a des ſtumpfen Winkels in [FORMEL] ſchnei-
den, die zwiſchenliegende b im ſcharfen Winkel in [FORMEL].
[Abbildung]
Das Zeichen der Linie iſt alſo [FORMEL], und da ich nun zwiſchen
je zwei a eine Zwiſchenaxe b, alſo im Ganzen dreimal, legen kann,
ſo werde ich die Schnitte in b durch einfache Addition der Nenner von a
finden. Zwiſchen [FORMEL] und [FORMEL] liegt daher [FORMEL], und zwiſchen [FORMEL]
und [FORMEL] liegt [FORMEL], das vollſtändige Zeichen der Linie iſt alſo
[FORMEL]. Bei der Rechnung haben wir nur
eines der b mit einem der a auszuzeichnen, die aber wie die punktirten
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Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855, S. 55. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/quenstedt_mineralogie_1854/67>, abgerufen am 13.11.2024.
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